Topologický prostor

Topologický prostor je matematická struktura, která umožňuje formalizovat a zobecnit takové pojmy, jako jsou konvergence, kompaktnost a spojitost. Vyskytují se prakticky ve všech odvětvích moderní matematiky. Topologickými prostory se zabývá topologie.

Definice

Topologickým prostorem nazveme množinu $X$ společně s kolekcí $\tau$ podmnožin $X$, splňující následující axiomy:

1. $\emptyset \in \tau$, $X\in \tau$
2. sjednocení libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z $\tau$ leží v $\tau$
3. průnik konečného počtu množin z $\tau$ leží v $\tau$

Kolekci $\tau$ říkáme topologie na $X$. Množiny v $\tau$ pak nazveme otevřené množiny, jejich doplňkům v $X$ uzavřené množiny.

Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako $(X,\tau )$.

Homeomorfní topologické prostory

Říkáme, že dva topologické prostory jsou homeomorfní, pokud mezi nimi existuje homeomorfismus, tzn. zobrazení které je prosté a na, je spojité a jeho inverze je spojitá. Z pohledu topologie jsou takové prostory identické (mají stejné topologické vlastnosti).

Příklady topologických prostorů

• Množina reálných čísel s topologií generovanou otevřenými intervaly. Znamená to, že množina je otevřená, pokud vznikla sjednocením klidně i nekonečně mnoha otevřených intervalů
• Metrický prostor je topologický prostor s topologií otevřených množin generovaných otevřenými koulemi. To zahrnuje i Banachovy prostory či Hilbertovy prostory.
• Nejjednodušším příkladem topologie je tzv. triviální topologie, která je tvořena pouze množinou $X$ a prázdnou množinou $\emptyset$, tzn. $\tau =\{\emptyset ,X\}$.

Související články

• Zobrazení
• Spojité zobrazení
• Kompaktní množina