Topologický prostor: Porovnání verzí
m robot přidal: el:Τοπολογικός Χώρος |
m robot přidal: ro:Spaţiu topologic |
||
Řádek 55: | Řádek 55: | ||
[[pms:Spassi topològich]] |
[[pms:Spassi topològich]] |
||
[[pt:Espaço topológico]] |
[[pt:Espaço topológico]] |
||
[[ro:Spaţiu topologic]] |
|||
[[ru:Топологическое пространство]] |
[[ru:Топологическое пространство]] |
||
[[simple:Topological space]] |
[[simple:Topological space]] |
Verze z 22. 5. 2010, 12:59
Topologický prostor je matematická struktura, která umožňuje formalizovat a zobecnit takové pojmy, jako jsou konvergence, kompaktnost a spojitost. Vyskytují se prakticky ve všech odvětvích moderní matematiky. Topologickými prostory se zabývá topologie.
Definice
Topologickým prostorem nazveme množinu společně s kolekcí podmnožin , splňující následující axiomy:
- ,
- sjednocení libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z leží v
- průnik konečného počtu množin z leží v
Kolekci říkáme topologie na . Množiny v pak nazveme otevřené množiny, jejich doplňkům v uzavřené množiny.
Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako .
Homeomorfní topologické prostory
Říkáme, že dva topologické prostory jsou homeomorfní, pokud mezi nimi existuje homeomorfismus, tzn. zobrazení které je prosté a na, je spojité a jeho inverze je spojitá. Z pohledu topologie jsou takové prostory identické (mají stejné topologické vlastnosti).
Příklady topologických prostorů
- Množina reálných čísel s topologií generovanou otevřenými intervaly. Znamená to, že množina je otevřená, pokud vznikla sjednocením klidně i nekonečně mnoha otevřených intervalů
- Metrický prostor je topologický prostor s topologií otevřených množin generovaných otevřenými koulemi. To zahrnuje i Banachovy prostory či Hilbertovy prostory.
- Nejjednodušším příkladem topologie je tzv. triviální topologie, která je tvořena pouze množinou a prázdnou množinou , tzn. .