Topologický prostor: Porovnání verzí
m robot přidal: simple:Topological space |
m robot přidal: cv:Топологиллĕ уçлăх |
||
Řádek 32: | Řádek 32: | ||
[[bg:Топологично пространство]] |
[[bg:Топологично пространство]] |
||
[[ca:Espai topològic]] |
[[ca:Espai topològic]] |
||
[[cv:Топологиллĕ уçлăх]] |
|||
[[cy:Gofod topolegol]] |
[[cy:Gofod topolegol]] |
||
[[da:Topologisk rum]] |
[[da:Topologisk rum]] |
Verze z 19. 4. 2009, 18:53
Topologický prostor je matematická struktura, která umožňuje formalizovat a zobecnit takové pojmy, jako jsou konvergence, kompaktnost a spojitost. Vyskytují se prakticky ve všech odvětvích moderní matematiky. Topologickými prostory se zabývá topologie.
Definice
Topologickým prostorem nazveme množinu společně s kolekcí podmnožin , splňující následující axiomy:
- ,
- sjednocení libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z leží v
- průnik konečného počtu množin z leží v
Kolekci říkáme topologie na . Množiny v pak nazveme otevřené množiny, jejich doplňkům v uzavřené množiny.
Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako .
Homeomorfní topologické prostory
Říkáme, že dva topologické prostory jsou homeomorfní, pokud mezi nimi existuje homeomorfismus, tzn. zobrazení které je prosté a na, je spojité a jeho inverze je spojitá. Z pohledu topologie jsou takové prostory identické (mají stejné topologické vlastnosti).
Příklady topologických prostorů
- Množina reálných čísel s topologií generovanou otevřenými intervaly. Znamená to, že množina je otevřená, pokud vznikla sjednocením klidně i nekonečně mnoha otevřených intervalů
- Metrický prostor je topologický prostor s topologií otevřených množin generovaných otevřenými koulemi. To zahrnuje i Banachovy prostory či Hilbertovy prostory.
- Nejjednodušším příkladem topologie je tzv. triviální topologie, která je tvořena pouze množinou a prázdnou množinou , tzn. .