Střední hodnota

Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá očekávaná hodnota (odtud značka E = Expected, anglicky očekávaný) nebo populační průměr.

Střední hodnota náhodné veličiny $X$ se značí $\operatorname {E} X$, $\operatorname {E} (X)$ nebo také $\langle X\rangle$.

Definice

Střední hodnota náhodné veličiny je funkcionál jejího rozdělení, jenž je obecně definován jako následující Lebesgueův integrál (který lze chápat jako jakýsi „vážený průměr“ veličin z daného rozdělení, jejichž váhou je pravděpodobnost výskytu):

$\operatorname {E} X=\int _{R}x\mathrm {d} P(x)$,

kde $P$ je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny $X$. Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

• Má-li náhodná veličina $X$ spojité rozdělení s hustotou rozdělení $f(x)$, pak

$\operatorname {E} X=\int _{R}xf(x)\mathrm {d} x$.

• Má-li náhodná veličina $X$ diskrétní rozdělení kde $P[X=s_{i}]=p_{i}$ pro $i\in I$ nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak

$\operatorname {E} X=\sum _{I}s_{i}p_{i}$

Vlastnosti

Střední hodnota konstanty $c$ je

$\operatorname {E} (c)=c$

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny $X$ a konstanty $c$ platí

$\operatorname {E} (cX)=c\operatorname {E} (X)$

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin $X,Y$ je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

$\operatorname {E} (X+Y)=\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (Y)$

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny $X,Y$ je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

$\operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)$

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin.

Podmíněná střední hodnota:

• $\operatorname {E} (aX\mid Y)=a$

• $\operatorname {E} (aX+bY\mid Z)=a\operatorname {E} (X\mid Z)+b\operatorname {E} (Y\mid Z)$

• $\operatorname {E} [\operatorname {E} (X\mid Y)]=\operatorname {E} (X)$
• $\operatorname {E} (\psi (Z)U\mid Z)=\psi (Z)\operatorname {E} (U\mid Z)$

kde $a,b\in R$ a $X,Y,Z$ jsou náhodné vektory

Příklady

Diskrétní náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti na intervalu <0,1> je f(x) = 2x , jinde identicky rovna nule. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x.

Potom střední hodnotu lze z definice spočítat pomocí integrálu

$\operatorname {E} X=\int _{R}xf(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}x\cdot 2x\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}2x^{2}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {2}{3}}x^{3}\right]_{0}^{1}={\frac {2}{3}}1^{3}-{\frac {2}{3}}0^{3}={\frac {2}{3}}$.

Střední hodnota uvedené náhodné veličiny tedy je ²⁄₃.

Související články

• Medián
• Rozptyl (statistika)
• Charakteristika náhodné veličiny

Autoritní data	GND: 4152930-3