Antisymetrická relace: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 31. 8. 2013, 19:00

Antisymetrická relace je matematický pojem označující relaci, ve které nenastává situace, že by $a$ bylo v relaci s $b$ a zároveň $b$ v relaci s $a$ . Podle toho, jestli se tato podmínka vztahuje i na stejné $a$ , $b$ , se liší pojem slabé a silné antisymetrie.

Typy

Slabě antisymetrická relace

Binární relace R na množině X nazývá slabě antisymetrická, platí-li pro všechna a a b z X, že jestliže a je v relaci s b a b je v relaci s a, pak a = b.

Formálně zapsáno:

(\forall a,b\in \mathbf {X} )(a\mathbf {R} b\land b\mathbf {R} a\;\Rightarrow \;a=b)

„Je menší nebo rovno“ je slabě antisymetrická relace: jelikož $a\leq b\land b\leq a$ je nemožné pro různá $a\,\!$ a $b\,\!$ , je slabá antisymetrie zřejmá.

Slabá antisymetrie není opakem symetrie $(a\mathbf {R} b\Rightarrow b\mathbf {R} a)$ . Existují relace, které jsou jak symetrické, tak slabě antisymetrické (rovnost), existují i relace, které nejsou ani symetrické, ani slabě antisymetrické (dělitelnost v okruhu celých čísel), existují relace, které jsou symetrické, ale nejsou slabě antisymetrické (dělení modulo p, kde p je prvočíslo), a existují relace, které nejsou symetrické, ale jsou slabě antisymetrické („je menší nebo rovno“).

Slabě antisymetrická relace, která je zároveň tranzitivní a reflexivní se nazývá neostré uspořádání (nebo jen uspořádání).

Silně antisymetrická relace

Binární relace R na množině X nazývá silně antisymetrická, platí-li pro všechna a a b z X, že jestliže a je v relaci s b pak b není v relaci s a.

Formálně zapsáno:

(\forall a,b\in \mathbf {X} )(a\mathbf {R} b\Rightarrow \neg (b\mathbf {R} a))

Tato podmínka vylučuje existenci prvku a, který by byl v relaci sám se sebou -- každá silně antisymetrická relace je proto ireflexivní.

Silně antisymetrická relace je například ostrá nerovnost < na přirozených číslech. To je také příklad ostrého uspořádání -- relace, která je silně antisymetrická (z toho ireflexivní) a tranzitivní.

Související články

Literatura

BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. ISBN 80-200-0470-X.

@@ Řádek 8: / Řádek 8: @@
 Formálně zapsáno:
-:<math>(\forall a, b \in \mathbf{X} (a\mathbf{R}b \and b\mathbf{R}a \; \Rightarrow \; a = b)</math>
+:<math>(\forall a, b \in \mathbf{X})(a\mathbf{R}b \and b\mathbf{R}a \; \Rightarrow \; a = b)</math>
 „Je menší nebo rovno“ je slabě antisymetrická relace: jelikož <math>a \leq b \and b \leq a</math> je nemožné pro různá <math>a\,\!</math> a <math>b\,\!</math>, je slabá antisymetrie zřejmá.