Kvartická rovnice: Porovnání verzí
Verze 9393589 uživatele 93.91.152.106 (diskuse) zrušena - bylo to dobře |
|||
Řádek 42: | Řádek 42: | ||
Tím dostaneme jinou rovnici o jiné neznámé <math>y</math>. Mezi nezmámými <math>x</math>, <math>y</math> však existuje vztah, takže dokážeme-li najít neznámou <math>y</math>, pak dokážeme najít i neznámou <math>x</math>. Tuto konkrétní substituci jsme zvolili proto, abychom získali jistý speciální tvar nové rovnice – tato rovnice bude mít tzv. redukovaný tvar: |
Tím dostaneme jinou rovnici o jiné neznámé <math>y</math>. Mezi nezmámými <math>x</math>, <math>y</math> však existuje vztah, takže dokážeme-li najít neznámou <math>y</math>, pak dokážeme najít i neznámou <math>x</math>. Tuto konkrétní substituci jsme zvolili proto, abychom získali jistý speciální tvar nové rovnice – tato rovnice bude mít tzv. redukovaný tvar: |
||
<math>y^4 + Py^2 + Qy + R = 0</math> |
<math>y^4 + Py^2 + Qy + R = 0 \qquad\qquad(1) </math> |
||
3. Rozložíme čtyřčlen <math>y^4 + Py^2 + Qy + R = 0</math> na dva kvadratické trojčleny, jejichž koeficienty kvadratických členů <math>y^2</math> budou mít hodnotu 1. Označme ostatní koeficienty jako <math>K</math>,<math>L</math>, <math>M</math>, <math>N</math>. Má tedy platit, že: |
3. Rozložíme čtyřčlen <math>y^4 + Py^2 + Qy + R = 0</math> na dva kvadratické trojčleny, jejichž koeficienty kvadratických členů <math>y^2</math> budou mít hodnotu 1. Označme ostatní koeficienty jako <math>K</math>,<math>L</math>, <math>M</math>, <math>N</math>. Má tedy platit, že: |
||
Řádek 109: | Řádek 110: | ||
Např. rovnici <math>x^4 + 6x^3 - x - 6 = 0</math> lze snadno rozložit na <math>(x + 6)(x^3 - 1) = 0</math>, popř. ještě dál na: <math>(x + 6)(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0</math>, a tak uhodnout z hlavy kořeny <math>x_{1} = -6</math>, <math> x_{2} = 1 </math>. |
Např. rovnici <math>x^4 + 6x^3 - x - 6 = 0</math> lze snadno rozložit na <math>(x + 6)(x^3 - 1) = 0</math>, popř. ještě dál na: <math>(x + 6)(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0</math>, a tak uhodnout z hlavy kořeny <math>x_{1} = -6</math>, <math> x_{2} = 1 </math>. |
||
Obrázky, které ukazují obecné řešení redukovaného tvaru rovnice (1). |
|||
== Související články == |
== Související články == |
Verze z 21. 1. 2013, 17:28
Kvartická rovnice je algebraická rovnice o jedné neznámé, kterou lze vyjádřit v obecném tvaru
- ,
kde .
U kvartických rovnic používáme následující terminologii:
- – kvartický člen
- – kubický člen
- – kvadratický člen
- – lineární člen
- – absolutní člen
Bikvadratická rovnice
Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar
Řešení bikvadratické rovnice
Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce , čímž získáme kvadratickou rovnici
Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru
Toto řešení použijeme pro získání hodnot , které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí
Obecné řešení kvartické rovnice
Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná analyticky (tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Ludovico Ferrari někdy v 15. století, když byl žákem Girolama Cardana, nicméně existuje mnoho elegantnějších metod, jak takové rovnice řešit. Jednu z nich předložil např. Francouz René Descartes a tuto metodu bych zde rád uvedl.
Řešení spočívá v následujícím postupu:
1. Máme kvartickou rovnici
Vydělíme-li rovnici koeficientem kvartického členu , tím získáme rovnici, jejíž koeficient kvartického členu bude 1. Nově získaná rovnice bude vypadat takto:
2. Použijeme substituci
Tím dostaneme jinou rovnici o jiné neznámé . Mezi nezmámými , však existuje vztah, takže dokážeme-li najít neznámou , pak dokážeme najít i neznámou . Tuto konkrétní substituci jsme zvolili proto, abychom získali jistý speciální tvar nové rovnice – tato rovnice bude mít tzv. redukovaný tvar:
3. Rozložíme čtyřčlen na dva kvadratické trojčleny, jejichž koeficienty kvadratických členů budou mít hodnotu 1. Označme ostatní koeficienty jako ,, , . Má tedy platit, že:
,
a tedy z předchozího kroku plyne:
Aby rovnost platila, musí platit následující vztahy (což zjistíme po roznásobení kvadratických trojčlenů výše):
(tento vztah jsem získal tak, že jsem si uvědomil, že celkový koeficient kubického členu musí být 0, abych ho mohl vypustit a získat namísto pětičlenu jen čtyřčlen)
¨
4. Všimneme si, že vztah lze snadno přetvořit na , čehož využijeme a dosadíme výraz do trojčlenu namísto , čímž získáme rovnost
5. Roznásobíme nově vzniklé trojčleny a získáme následující rovnosti:
První dva z těchto vztahů ještě vhodně upravím:
6. Zaměříme se nyní na dvojici výrazů ,. Podařilo se mi vyjádřit jejich součet , jejich rozdíl a jejich součin . O součtu, součinu a rozdílu dvou libovolných hodnot platí vztah:
Úplně stejný vztah nyní uplatním na výrazy ,:
Místo součtu, součinu a rozdílu hodnot , ale dosadím jejich jiné vyjádření, které jsem získal v 5. kroku.
7. Uvědomíme si, že hodnoty , , jsou parametry, a tedy konkrétní číselné hodnoty, které známe. Proto se jedná o rovnici s neznámou . Rovnici postupně upravím, až dostanu tvar:
8. Všimneme si, že v rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé . Proto položíme substituci . Tím získám kubickou rovnici, kterou už není tak těžké vyřešit.
9. Zjistili jsme neznámou a tedy i . Po dosazení číselné hodnoty do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty , . Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů.
10. Nyní se vrátíme k rovnosti z 3. kroku:
.
Kdy je součin trojčlenů roven nule? Právě tehdy, je-li aspoň jeden trojčlen roven 0. Z toho plyne, že kořeny získáme vyřešením kvadratické rovnice , zatímco kořeny vyřešením kvadratické rovnice .
11. Známe-li kořeny , pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice .
Poznámka - Řešení by šlo jistě vyjádřit i pomocí původních koeficientů , , , , , ale bylo by tak dlouhé, složité a nepraktické, že ho zde neuvedu, stejně by nemělo velký praktický význam. Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.
Např. rovnici lze snadno rozložit na , popř. ještě dál na: , a tak uhodnout z hlavy kořeny , .
Obrázky, které ukazují obecné řešení redukovaného tvaru rovnice (1).
Související články
Externí odkazy
- Quartic Equation (anglicky)