Rovinný graf

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Rovinný graf (též planární graf) je graf, pro který existuje takové rovinné nakreslení, že se žádné dvě hrany nekříží.

Rovinné nakreslení[editovat | editovat zdroj]

Oblouk je podmnožina roviny tvaru , kde je nějaké spojité a prosté (až na koncové body) zobrazení intervalu do roviny. Body a se nazývají koncové body oblouku.

Rovinné nakreslení je pak zobrazení , které každému vrcholu přiřazuje bod roviny a hraně přiřadí oblouk s koncovými body a . Zobrazení je prosté (různým vrcholům odpovídají různé body roviny) a žádný bod není nekoncovým bodem žádného oblouku. Graf spolu s takovýmto zobrazením nazveme topologický graf.

Topologický graf je rovinný, pokud libovolné dva oblouky odpovídající hranám a () mají společné nejvýše koncové body.

Stěna grafu[editovat | editovat zdroj]

Nechť (kde je množina všech bodů a všech oblouků nakreslení grafu). Nazveme ji souvislou, pokud pro platí, že existuje oblouk s koncovými body a takový, že . Oblouky příslušné hranám nějakého topologického grafu pak podle této relace souvislosti rozdělují rovinu na třídy ekvivalence, které se nazývají stěny grafu.

Charakterizace rovinných grafů[editovat | editovat zdroj]

Kuratowského věta[editovat | editovat zdroj]

Graf G je rovinný právě tehdy, není-li žádný jeho podgraf izomorfní dělení grafu ani . ( označuje úplný graf na pěti vrcholech, pak úplný bipartitní graf.)

K4, úplný graf na 4 vrcholech, lze zakreslit do roviny bez křížení hran. Pro K5 to možné není.

Eulerův vzorec[editovat | editovat zdroj]

Pro rovinné grafy také platí následující vzorec, je to ovšem pouze implikace: Je-li souvislý rovinný graf, pak , kde je počet stěn nějakého rovinného nakreslení tohoto grafu.

Příklad ukazuje graf K4 se 4 vrcholy, 6 hranami a vyznačenými 4 stěnami. Eulerův vztah platí, 4 − 6 + 4 = 2.

Maximální počet hran[editovat | editovat zdroj]

Je-li rovinný graf, pak platí, že . Neobsahuje-li navíc tento graf jako podgraf trojúhelník (tj. , úplný graf na 3 vrcholech), pak .

Z prvního tvrzení vyplývá důležitý fakt, a to, že každý rovinný graf má alespoň jeden vrchol stupně nejvýše 5.

Související články[editovat | editovat zdroj]