Prostorový úhel

Vymezení prostorového úhlu na kulové ploše

Prostorový úhel je část prostoru vymezená rotační kuželovou plochou. Každá taková plocha dělí prostor na právě dvě části – prostorové úhly. Prostorový úhel se určuje tak, že se uvažuje kulová plocha o středu ve vrcholu V a o libovolném poloměru r, jejíž průnik s prostorovým úhlem je vrchlík na kulové ploše o obsahu A. Velikost prostorového úhlu pak určuje poměr mezi A a r², přičemž nezávisí na uvažované kulové ploše. Alternativní definicí prostorového úhlu je sjednocení všech polopřímek ${\overrightarrow {VX}}$ se společným počátkem V, kde bod X leží na kulovém vrchlíku se středem v bodě V.

Specifickým případem prostorového úhlu je poloprostor, tj. část prostoru rozděleného rovinou.

Značení

• Symbol veličiny: $\Omega$
• Jednotka SI: steradián, značka jednotky: sr
• V astronomii se kromě steradiánu používá také starší jednotka čtverečný stupeň.

Výpočet

Prostorový úhel objektu pozorovaného z určitého bodu je přímo roven ploše, kterou zabírá obraz tohoto objektu v bodové projekci (se středem v daném bodě) na jednotkovou kouli, která má střed v daném bodě.

Plný prostorový úhel má hodnotu $4\pi$, přímý úhel pak poloviční.

Element prostorového úhlu

Pozorujeme-li z určitého bodu o polohovém vektoru $\mathbf {r}$ element plochy $\mathrm {d} \mathbf {S}$, jehož polohový vektor je $\mathbf {r} ^{\prime }$, pak pro element prostorového úhlu platí

$\mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }{R^{3}}}$,

kde $\mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }$, $R$ je velikost tohoto vektoru a $\mathrm {d} \mathbf {S} =\mathbf {n} \mathrm {d} S$, přičemž $\mathbf {n}$ je normála plochy v bodě $\mathbf {r} ^{\prime }$.

Související články

• Úhel
• Steradián