Kinetická energie

Kinetická energie (též pohybová energie) je jeden z druhů mechanické energie, kterou má pohybující se těleso. Je definována jako práce, kterou musíme vykonat, abychom urychlili těleso na určitou rychlost. Velikost kinetické energie tělesa, vykonávajícího posuvný pohyb závisí na jeho hmotnosti a rychlosti. Vykonává-li těleso rotační pohyb, závisí jeho energie na úhlové rychlosti a momentu setrvačnosti. Je-li těleso v klidu, má nulovou kinetickou energii. Protože pohyb těles je relativní, záleží hodnota energie na tom, v jaké vztažné soustavě těleso pozorujeme.

Značení

Značka: $E_{k}$ , v teoretické mechanice $T$
Jednotka SI: joule, značka: J
Další jednotky: viz Energie

Newtonovská (klasická) kinetická energie

Kinetická energie v klasické mechanice je definována ve tvaru

E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}

Odvození vztahu

Uvažujme hmotný bod o hmotnosti $m$ , na který působí síla $\mathbf {F}$ , pak pohybová rovnice jde zapsat v následujícím tvaru

\mathbf {F} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}

,

kde $\mathbf {v}$ je rychlost uvažovaného hmotného bodu v čase $t$ (okamžitá rychlost). Tuto pohybovou rovnici skalárně vynásobíme rychlostí $\mathbf {v}$ hmotného bodu (na sílu $\mathbf {F}$ neklademe žádná omezení), čímž dostaneme

\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =m\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}

.

Jelikož platí, že

m\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right)={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)

,

lze předchozí rovnici upravit

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)={\frac {dE_{k}}{dt}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}

,

kde $E_{k}$ je kinetická energie hmotného bodu.

Protože pro element práce platí $dW=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$ , pak z předchozí rovnosti vyplývá

dE_{k}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =dW

,

a odtud integrací dostáváme

\Delta E_{k}=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =W

.

Alternativně lze kinetickou energii také vyjádřit pomocí hybnosti $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

E_{k}={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}={\frac {p^{2}}{2m}}

.

Speciální teorie relativity

V rámci speciální teorie relativity lze získat přesnější vztah

E_{k}=\gamma mc^{2}-mc^{2}=\left({{1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1}\right)mc^{2}\,

,

kde m je hmotnost tělesa, v je rychlost tělesa a c je rychlost světla. První člen v závorce je tzv. Lorentzův faktor.

Tento vzorec lze pomocí Taylorova rozvoje přepsat do tvaru nekonečné řady

E_{k}={1 \over 2}mv^{2}+{3 \over 8}mv^{2}\left({v \over c}\right)^{2}+{5 \over 16}mv^{2}\left({v \over c}\right)^{4}+\dots \,,

z níž je vidět, že při rychlostech mnohem menších než c je významný jen první člen a platí newtonovský vzorec.

Vlastnosti

Kinetická energie nemůže být nikdy záporná.
Kinetická energie nezávisí na směru pohybu, ale pouze na velikosti rychlosti.
Kinetická energie je závislá na volbě vztažné soustavy, protože na této volbě závisí také rychlost tělesa.
Celková kinetická energie soustavy hmotných bodů je dána součtem kinetických energií jednotlivých hmotných bodů.

Příklad

Uvažujme izolovanou soustavu, pak platí zákon zákon zachování mechanické energie, který lze formulovat ve tvaru

{\frac {dE}{dt}}={\frac {d(E_{k}+E_{p})}{dt}}=0

,

který nám říká, že se kinetická energie v izolované soustavě mění na energii potenciální a naopak. Zaměříme-li se na homogenní tíhové pole Země (lze ho považovat za homogenní pro malé vzdálenosti od povrchu), pak tuto přeměnu lze jednoduše ilustrovat například na volném pádu z výšky $h$ .

{\frac {1}{2}}mv(t_{0})^{2}+mgh(t_{0})={\frac {1}{2}}mv(t_{d})^{2}+mg(t_{d})\implies v={\sqrt {2gh(t_{0})}}

,

kde $t_{0}$ je počáteční čas, ve kterém má těleso ve výšce $h$ nulovou rychlost, a $t_{d}$ je čas dopadu. Výsledek lze jednoduše ověřit přímým výpočtem úlohy volného pádu. Nejdříve určíme čas dopadu

h-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}=0\implies t_{d}={\sqrt {\frac {2h}{g}}}

,

čímž dosazením za rychlost dostáváme výsledek, který je v souladu se zákonem zachování energie

v(t_{d})=g{\sqrt {\frac {2h}{g}}}={\sqrt {2gh}}

.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu kinetická energie na Wikimedia Commons
Slovníkové heslo energie ve Wikislovníku
Encyklopedické heslo Aktuální energie v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích