Lorentzův faktor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako Lorentzův faktor se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a rovnicích speciální teorie relativity (např. kontrakce délek, dilatace času, Lorentzova transformace).

Tento člen se označuje řeckým písmenem γ (gama) a je definován jako

\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau},

kde v je velikost rychlosti ve vztažné soustavě, v níž je měřen čas t, \tau je vlastní čas a c je rychlost světla ve vakuu.

Dalším často se opakujícím výrazem je \frac{v}{c}, nazývá se bezrozměrná rychlost a značí se \beta.

\beta \equiv \frac{v}{c}

Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \left(1-\beta^2\right)^{-{1\over2}} \,.

Hodnoty[editovat | editovat zdroj]

Lorentzův faktor roste s rychlostí od hodnoty 1. Při rychlostech blízkých c roste nade všechny meze.
\beta \gamma \gamma^{-1}
0.010 1.000 1.000
0.100 1.005 0.995
0.200 1.021 0.980
0.300 1.048 0.954
0.400 1.091 0.917
0.500 1.155 0.866
0.600 1.250 0.800
0.700 1.400 0.714
0.800 1.667 0.600
0.866 2.000 0.500
0.900 2.294 0.436
0.990 7.089 0.141
0.999 22.366 0.045

Přibližné vyjádření[editovat | editovat zdroj]

Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí Taylorovy řady jako

\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...\,.

Aproximaci \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2 lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti \beta< 0,4 vykazuje tato aproximace chybu do 1%, pro rychlosti \beta< 0,22 vykazuje chybu menší než 0,1%.

Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké rychlosti přechází speciální teorie relativity na Newtonovu mechaniku. (V následujících vzorcích písmeno m značí klidovou hmotnost, která je invariantní vůči Lorentzově transformaci.) Například relativistický výraz pro hybnost

\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v}

přejde pro \gamma \approx 1\, na

\mathbf{p} = m \mathbf{v} \,.

Podobně vztah pro energii

E = \gamma m c^2

přejde pro \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2 na klasický tvar

E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 \,.

V Lorentzově transformaci při nízkých rychlostech můžeme zanedbat členy řádu \beta^2 a vyšší, takže je \gamma\approx 1 a obdržíme tzv. pomalou Lorentzovu transformaci.

x^\prime = x - \beta ct
y^\prime = y
z^\prime = z
ct^\prime = ct - \beta x \,.

Pro některé relativistické výpočty se používá vyjádření rychlosti pomocí \gamma

\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \,,

což lze také přepsat do Taylorovy řady

\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{1}{128} \gamma^{-8} + ... \,.

Související články[editovat | editovat zdroj]