Relativistická hmotnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Jedním z důsledků speciální teorie relativity je fakt, že hmotnost tělesa není neměnný parametr, ale musí se měnit v závislosti na pohybu vůči pozorovateli. Čím rychleji se těleso vůči pozorovateli pohybuje, tím větší má z pohledu pozorovatele hmotnost.

Relativistickou hmotnost lze spočítat podle vzorce[1]

,

kde je hmotnost změřená pozorovatelem, je klidová hmotnost pohybujícího se tělesa (nebo také invariantní či vlastní hmotnost) a je Lorentzův faktor.

Použití Lorentzova faktoru zobecňuje Newtonovskou mechaniku – při běžných rychlostech se jeho hodnota limitně blíží jedné (a je tedy možné jej zanedbat), začne projevovat až u rychlostí, které se řádově blíží rychlosti světla ve vakuu (a kde je proto fyzikální popis Newtonovské mechaniky nedostatečný).

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme nepružnou srážku dvou těles popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi, přičemž boost, jehož rychlost je , probíhá podél osy x. Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako

A doplníme relativistické vztahy pro skládání rychlostí

Pro jednoduchost popišme srážku ze dvou vztažných soustav, ve kterých je vždy jedno těleso v klidu. V první vztažné soustavě volíme (první těleso je v klidu a druhé přilétá rychlostí zleva). Ve druhé vztažné soustavě má být druhé těleso v klidu, a proto musí platit, že

Při této transformaci v soustavě pozorujeme, že druhé těleso je v klidu a první letí rychlostí vlevo.

Nyní dosadíme zákon zachování hmotnosti do zákonu zachování hybnosti v obou soustavách a získáme

Po dosazení rychlostí se rovnice zjednoduší na tvar

Z první rovnice vyjádříme a do druhé dosadíme transformační vztah pro

Nyní dosadíme první rovnici do druhé a získáme

Tato rovnice říká, jak souvisí hmotnost těles v různých soustavách s vzájemnou rychlostí těchto soustav , a proto následující úpravy budou mířit na separaci hmotností a rychlostí.

Nyní zaveďme klidovou hmotnost prvního tělesa a klidovou hmotnost druhého tělesa. (Klidovou hmotnost tělesa pozoruje pozorovatel, který je vůči tělesu v klidu.) V našem případě tedy můžeme psát, že

Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu vůči pozorovateli. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Zkusme modifikovat hmotnost násobením neznámou funkcí závisející na velikosti rychlosti tělesa vůči pozorovateli . V našem případě proto můžeme psát

Protože v soustavě se pohybuje druhé těleso rychlostí o velikosti a v soustavě se pohybuje první těleso rychlostí o velikosti .

Dosazením vztahů pro hmotnosti do původní rovnice získáme

Těleso, které se pohybuje vůči pozorovateli rychlostí má proto z pohledu pozorovatele hmotnost o velikosti

kde jsme v původně neznámé funkci škálující hmotnost tělesa rozpoznali Lorentzův faktor.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. REICHL, Jaroslav; VŠETIČKA, Martin. Encyklopedie fyziky. fyzika.jreichl.com [online]. 2006 [cit. 2022-04-20]. Dostupné online.