Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:
![{\displaystyle (uv)^{\prime }=u^{\prime }v+uv^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40f69cf55bdda9a7099b05e57fdbeae12bd1ab9)
Uplatněním této věty na podmínky pro integrál vzniknou následující vzorce:
![{\displaystyle \int (uv)'\,\mathrm {d} x=\int (u'v)\,\mathrm {d} x+\int (uv')\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed6c63f4ff65823c4dc3bb301ac0c41f9c0a04d)
![{\displaystyle uv=\int (u'v)\,\mathrm {d} x+\int (uv')\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5629be0cd42c83b01ccabc9d767e9f543e091d18)
Úpravou druhé rovnice vznikne metoda integrace označovaná per partes:
![{\displaystyle \int (uv')\,\mathrm {d} x=uv-\int (u'v)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce50326ad47d7007cb1a12b7f9513f1ad7665c6)
Druhý vztah získáme pouhou záměnou
.
Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako
![{\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3869d726283a9c8f54eb612128c69d3a863d06)
Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.
Nechť
a
mají v intervalu
spojitou první derivaci. Potom v intervalu
platí:
[1]
![{\displaystyle \int u'v\,\mathrm {d} x=uv-\int uv'\,\mathrm {d} x{\mbox{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c4ec1f2a77f2ff27780cf560a1feaf0b4c658c)
, kde bylo použito ![{\displaystyle u=x,v^{\prime }=\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2f2097f01bdfe447f86115b366b28cf137116a)
- Pro nalezení
položíme
, takže dostaneme
. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme
, tzn.
. Dosazením pak získáme konečný výsledek ![{\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2(x\sin x+\cos x)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa8f48474b5df3851016130929c88ac3f422915)
Rychlá výpočetní metoda není rozšířením metody per partes.
Jedná se o mnemotechnickou pomůcku usnadňující zapamatování postupu výpočtu, jeho zpřehlednění
a následně usnadní i kontrolu.
Formálně je možné metodu naznačit následovně:
![{\displaystyle \int u(x)v''(x)\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}Derivace&&Integrace\\\hline \color {green}{u(x)}&&v''(x)\\&\color {green}{+ \atop \searrow }&\\\color {blue}{u'(x)}&&\color {green}{v'(x)}\\&\color {blue}{- \atop \searrow }&\\\color {red}{u''(x)}&&\color {blue}{v(x)}\\&\color {red}{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=\color {green}{\,+u(x)v'(x)}\color {blue}{\,-u'(x)v(x)}\color {red}{\,+\int u''(x)}\color {blue}{v(x)}\color {red}{\,\mathrm {d} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2489e850dcdce62dfa67c6d4b5746abce5d0e9fc)
Při integraci součinu dvou funkcí se vytvoří dvousloupcová tabulka, kde se v prvním sloupci derivuje jeden z činitelů a ve druhém sloupci se integruje druhý. V každém kroku (řádku) tabulky si klademe otázku zda jsme schopni integrovat součin na daném řádku. Pokud ne, vytvoří se další řádek. Pokud ano, doplní se šipky
(
) a zapíše výsledek.
A) Klasické použití rychlé metody per partes (čtyřnásobné):
![{\displaystyle \int x^{3}\mathrm {e} ^{x}\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline x^{3}&&\mathrm {e} ^{x}\\&{+ \atop \searrow }&\\3x^{2}&&\mathrm {e} ^{x}\\&{- \atop \searrow }&\\6x&&\mathrm {e} ^{x}\\&{+ \atop \searrow }&\\6&&\mathrm {e} ^{x}\\&{- \atop \searrow }&\\0&&\mathrm {e} ^{x}\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=x^{3}\mathrm {e} ^{x}-3x^{2}\mathrm {e} ^{x}+6x\mathrm {e} ^{x}-6\mathrm {e} ^{x}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e024edfaa14851c684a83eb6fda71bc8f640e9f7)
B) Zacyklení v případech integrace součinu exponenciálních a goniometrických funkcí:
![{\displaystyle \underbrace {\int \mathrm {e} ^{x}\sin x\,\mathrm {d} x} _{\color {green}{K}}={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline \mathrm {e} ^{x}&&\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\\mathrm {e} ^{x}&&-\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\\mathrm {e} ^{x}&&-\sin x\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=-\mathrm {e} ^{x}\cos x+\mathrm {e} ^{x}\sin x-\underbrace {\int \mathrm {e} ^{x}\sin x\,\mathrm {d} x} _{\color {green}{K}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d93ecbde437c94bc060391faa530c02792dfb03)
- tj.
![{\displaystyle \quad {\color {green}{K}}=-\mathrm {e} ^{x}\cos x+\mathrm {e} ^{x}\sin x-{\color {green}{K}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\color {green}{K}}={\frac {1}{2}}\mathrm {e} ^{x}\left(\sin x-\cos x\right)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5057a382cb393a3835cc48506eecd9fdbb3d0c)
C) Rozšíření na součin v případech kdy má smysl pracovat s derivací integrandu:
![{\displaystyle \int \ln x\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot \ln x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline \ln x&&1\\&{+ \atop \searrow }&\\{\frac {1}{x}}&&x\\&{\longrightarrow \atop {-\int }}&\\\end{array}}=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}\cdot x\,\mathrm {d} x=x\ln x-x+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcb3c60024d62d695f1a364af07b1a94b7b10b6)
![{\displaystyle \int {\mbox{arctg }}x\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot {\mbox{arctg }}x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline {\mbox{arctg }}x&&1\\&{+ \atop \searrow }&\\{\frac {1}{1+x^{2}}}&&x\\&{\longrightarrow \atop {-\int }}&\\\end{array}}=x\,{\mbox{arctg }}x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=x\,{\mbox{arctg }}x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd5d4f4239fb9ad92705116a2dd8ceb2541bb5b)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \int e^{\alpha x}\cos \omega x\,\mathrm {d} x&=\displaystyle {\frac {e^{\alpha x}(\omega \sin \omega x+\alpha \cos \omega x)}{\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}+C\\\displaystyle \int e^{\alpha x}\sin \omega x\,\mathrm {d} x&=\displaystyle {\frac {e^{\alpha x}(\alpha \sin \omega x-\omega \cos \omega x)}{\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}+C,\quad C\in \mathbb {R} \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee5fcaa75b6e5bc026d186cd606133b503e0fbb)
- atd.
[1] [2]
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \int \cos ^{n}x\,\mathrm {d} x=J_{n}&\quad {\mbox{potom}}\quad &J_{n+2}=\,\,{\frac {1}{n+2}}\,\cos ^{n+1}x\,\sin x\,+\,{\frac {n+1}{n+2}}\,J_{n}\\\displaystyle \int \sin ^{n}x\,\mathrm {d} x=J_{n}&{\mbox{potom}}&J_{n+2}=-{\frac {1}{n+2}}\sin ^{n+1}x\,\cos x\,+\,{\frac {n+1}{n+2}}\,J_{n}\\\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{n}}}=J_{n}&{\mbox{potom}}&J_{n+1}=\,\,{\frac {1}{2n}}\left(\;{\frac {x}{(1+x^{2})^{n}}}+(2n-1)\,J_{n}\;\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3369c06d7c873cdfe7c2fa94728141062e2719)
- atd.
[1] [2]
Nechť
a
mají v intervalu
spojitou první derivaci. Potom v intervalu
platí:
[1]
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u'v\,\mathrm {d} x=\left[uv\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uv'\,\mathrm {d} x{\mbox{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa762e08f40ec47c59bfdd9171e4b43549e5cf0)
Zápis
je zápis použitý v Newton-Leibnizově vzorci pro výpočet
Newtonova určitého integrálu.
, kde bylo použito
, ![{\displaystyle v^{\prime }=\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bdb0ead3c5a8e1f72fbe634446d8644c4092d18)
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }x^{3}\sin x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline x^{3}&&\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\3x^{2}&&-\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\6x&&-\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\6&&\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\0&&\sin x\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}={\Bigl [}-x^{3}\cos x+3x^{2}\sin x+6x\cos x-6\sin x+C{\Bigr ]}_{0}^{\pi }=\pi ^{3}-6\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8c6ba6fdb1cc626118a69b51f9fc0d020be06e)
- ↑ a b c d
KAREL REKTORYS A SPOLUPRACOVNÍCI. Přehled užité matematiky. 7. vyd. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 8071961795.
- ↑ a b
BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-2040607-7.