Lorenzova křivka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tento článek je o Lorentzově křivce. O Lorentzově funkci pojednává článek Cauchyho rozdělení.

Lorenzova křivka je jedním z nejpoužívanějších způsobů grafického znázornění diverzifikace. V ekonomii se s ní často setkáváme především při grafickém znázorňování nerovnoměrnosti rozdělení důchodů či bohatství v populaci nějakého celku. Základem těchto výpočtů je seznam jednotlivých příjmů nebo aktiv seřazených vzestupně zleva doprava. Další použití můžeme hledat při popisu nerovnosti mezi velikostí jednotlivců v ekologii a při studiu biologické diverzity, kde je úhrnný podíl druhů vykreslen úhrnným podílem jednotlivců. Mezi další použití patří například hodnocení skóringových modelů.

Tato křivka je vnímána jako graf znázorňující podíl celkového příjmu nebo bohatství spodních x% lidí na ose „X“. Velmi časté je používání křivky u rozdělení příjmů, kde u dolního x% domácností se ukazuje, jaké procento (y%) z celkového příjmu mají. Procento domácností je vyneseno na ose x, procento příjmu na ose y. Křivka může být také použita pro ukázku distribuce aktiv. Toto použití mnoho ekonomů považuje za nejlepší měřítko sociální nerovnosti.

Konstrukce Lorenzovy křivky[editovat | editovat zdroj]

Ukažme konstrukci Lorenzovy křivky na příkladě měření diverzifikační schopnosti skóringového modelu. Konstrukce Lorenzovy křivky je založena na definici tzv. distribučních funkcí dobrých a špatných klientů.

Označme obor hodnot skóringové funkce . Potom pro každou hodnotu skóre definujme distribuční funkci dobrých klientů jako pravděpodobnost, že náhodně vybraný dobrý klient (viz skóringový model) bude mít skóre menší než , a distribuční funkci špatných klientů jako pravděpodobnost, že náhodně vybraný špatný klient bude mít skóre menší než .

Explicitní distribuční funkce a v praxi zpravidla neznáme, proto je nejčastěji nahrazujeme konzistentními odhady. Funkci odhadujeme jako poměr počtu dobrých klientů se skóre menším než ku počtu všech dobrých klientů a funkci jako poměr počtu špatných klientů se skóre menším než ku počtu všech špatných klientů.

Nakonec definujeme Lorenzovu křivku jako množinu bodů

,

kde nabývá všech hodnot použité skóringové funkce.

Takto zkonstruovaná Lorenzova křivka potom leží uvnitř jednotkového čtverce a spojuje protilehlé vrcholy, viz obrázek. Čím větší má náš model diverzifikační schopnost, tím více se Lorenzova křivka přibližuje stranám čtverce.

Struktura a vysvětlení[editovat | editovat zdroj]

Lorenzovka křivka je funkce, která je vyobrazena na jednotkovém čtverci 1. kvadrantu. Celkový součet je vyobrazen na ose „Y“ a na ose „X“ se zobrazuje dané procento populace, příjmů nebo jakéhokoliv jiného objektu, který je zkoumán. Na ose „Y“ se tedy zobrazuje podíl, jaký daný počet prvků na ose „X“ je zastoupen z celkového množství podílu. Data se vždy seřadí vzestupně. To vytváří charakteristický tvar Lorenzovy křivky pod diagonálou, což odráží míru nerovnoměrného rozdělení. Díky vzestupnému řazení dat máme jistotu, že daná funkce je vždy konvexní. Když si tyto fakta ukážeme na příkladu, můžeme třeba prohlásit, že spodních 20% domácností čerpá 12% z celkových příjmů (viz: Paretův princip). Na Lorenzově křivce můžeme rozeznávat dva extrémy, prvním z nich je perfektní rovnoměrné rozdělení, kdy všichni lidé mají stejný příjem. V tomto případě se vždy podíl populace zobrazené na ose „X“ vždy musí rovnat i podílu z celkového množství na ose „Y“. Tato funkce lze jasně ilustovat přímkou y=x. Tento jev se nazývá jako dokonalá linie rovnosti. Druhým extrémem je perfektní nerovnoměrné rodělení, což v praxi znamená, že jedna osoba vlastní vše a všichni ostatní nemají žádný příjem. V tomto případě je Giniho koeficient roven 0 (Giniho koeficient je poměr plochy mezi oblastí pod Lorenzovo křivkou dané situace a perfektním rovnoměrném rozdělení. Vzhledem k tomu, že perfektní rovnoměrné rozdělení má vždy větší nebo rovnou hodnotu, tak výsledek je tedy číslo mezi 0 a 1, z toho plyne, že čím vyšší číslo to je, tím se zvyšuje nerovnoměrnější rozdělení).

Tento vzorec vyjadřuje Giniho koeficient, přesnější grafické vysvětlení je přímo na stránce Giniho koeficient.


Příklad použití Lorenzovy křivky[editovat | editovat zdroj]

Představme si, že osa „X“ neboli zobrazuje procento populace a osa „Y“ neboli procento bohatství ve společnosti (alternativně také důchodu), pak Lorenzova křivka (plná čára nahoře) uvádí například, že 40 % populace oné společnosti vlastní 10 % z veškerého bohatství v této společnosti (alternativně, že na ni připadá 10 % důchodu). Tečkovaná čára grafu by zobrazovala rovnostářskou společnost, kdy všichni jedinci dosahují identické úrovně bohatství (alternativně: stejné úrovně důchodu).

V příkladu jsme si tedy rozdělili společnost na pětiny a v každé je jejich procento bohatství ve společnosti odlišné, což také znamená, že společnost nedosahuje identické úrovně bohatství. Dále jsme si do příkladu zavedli četnost, která je uvedena v Kč. Z četnosti můžeme lehce získat procentuální podíl v konkrétní pětině. Tento procentuální podíl bychom získali vydělením, když bychom dělili četnost konkrétní pětiny sumou všech četností. Tedy například u 2.pětiny

V posledním sloupci tu máme kumulativní četnost, která nám ukazuje, jaký podíl bohatství ve společnosti má konkrétní pětina spolu se všemi ostatními pětiny, které jsou na ose „X“ neboli zobrazovány menšími hodnoty.) Když mluvíme o kumulativní četnosti v tomto případě, tak vždycky na konci musí mít hodnotu 1. Důvodem je, že se bavíme o kumulativní četnosti podílu, kde celkový podíl musí být vždy jedna.

Pod tímto textem můžeme vidět tabulku hodnot, kde jsou názorně ukázané hodnoty u konkrétních pětin obyvatelstva. Celé grafické znázornění je ale pod tabulkou, které je úplně typickým příkladem Lorenzovy křivky

Procento populace (rozděleno na pětiny) Procento bohatství ve společnosti Četnost (v Kč) Kumulativní četnost
1.pětina (0 až 20% populace) 0.02 (2%) 4000000 Kč 0.02
2.pětina (20% až 40% populace) 0.08 (8%) 16000000 Kč 0.10
3.pětina (40% až 60% populace) 0.15 (15%) 30000000 Kč 0.25
4.pětina (60% až 80% populace) 0.35 (35%) 70000000 Kč 0.60
5.pětina (80% až 100% populace) 0.40 (40%) 80000000 Kč 1

Obrázek Lorenzovy křivky z příkladu[editovat | editovat zdroj]

Lorenzova krivka.png

Související články[editovat | editovat zdroj]