Konstrukce trojúhelníku
Konstrukce obecného trojúhelníku je postup, jehož cílem je pomocí kružítka a pravítka (či specializovaného software) při určitém zadaném počtu prvků trojúhelníku (miniálně 3 nezávislé prvky) vytvořit trojúhelník odpovídající tomuto zadání.
Konstrukční úlohy se dělí na polohové, kdy je nutné dodržet při konstrukci pořadí prvků požadovaných zadáním, a úlohy nepolohové, kdy při konstrukci lze vybrat jakýkoliv zadaný prvek jako první. Nejdůležitější výběr základních prvků, které se používají pro zadání konstrukce trojúhelníka (nepolohové úlohy):
| Konstrukční prvek | |||
|---|---|---|---|
| 3 strany | a | b | c |
| 3 těžnice | ta | tb | tc |
| 3 výšky | va | vb | vc |
| 3 úhly | α | β | γ |
| 1 kružnice opsaná | r | ||
| 1 kružnice vepsaná | ρ |
Výběrem 3 prvků z těchto 14 základních je možné pro zadání konstrukce trojúhelníka definovat kombinací zadání, které lze seskupit do následujících skupin typů zadání:
| Č. | Skupina zadání | Možné kombinace | Počet | Postup řešení | Obtížnost |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 strany (věta sss) | abc | 1 | např. 1. AB |AB|= strana c; 2. k;k(A; strana b), 3.l;l(B;strana a) 4 . C; C € k∩l | nízká |
| 2 | 2 strany a těžnice proti některé z nich | {a,b,ta} {a,b,tb} {b,c,tb} {b,c,tc} {a,c,ta} {a,c,tc} | 6 | průsečík těžnice a 1/2 strany proti ní je středem strany poté doplnění na trojúhelník | nízká |
| 3 | 2 strany a těžnice proti třetí z nich | {a,b,tc} {a,c,tb} {b,c,ta} | 3 | ||
| 4 | 2 strany a výška proti některé z nich | {a,b,va} {a,b,vb} {a,c,va} {a,c,vc} {b,c,vb} {b,c,vc} | 6 | ||
| 5 | 2 strany a výška proti třetí z nich | {a,b,vc} {b,c,va} {a,c,vb} | 3 | ||
| 6 | 1 strana a 2 těžnice jedna proti ní a druhá proti jedné z dalších stran | {a,ta,tb} {a,ta,tc} {b,ta,tb} {b,tb,tc} {c,ta,tc} {c,tb,tc} | 6 | ||
| 7 | 1 strana a 2 těžnice proti ostatním stranám | {a,tb,tc} {b,ta,tc} {c,ta,tb} | 3 | ||
| 8 | 1 strana a 2 výšky, jedna proti ní a druhá proti jedné z dalších stran | {a,va,vb} {a,va,vc} {b,va,vb} {b,vb,vc} {c,va,vc} {c,vb,vc} | 6 | ||
| 9 | 1 strana a 2 výšky proti ostatním stranám | {a,vb,vc} {b,va,vc} {c,va,vb} | 3 | ||
| 10 | 1 stana, 1 těžnice a 1 výška proti ní | {a,ta,va} {b,tb,vb} {c,tc,vc} | 3 | ||
| 11 | 1 strana, 1 těžnice proti ní a 1 výška proti jedné z dalších stran | {a,ta,vb} {a,ta,vc} {b,tb,va} {b,tb,vc} {c,tc,va} {c,tc,vb} | 6 | ||
| 12 | 1 strana, 1 výška proti ní a 1 těžnice proti jedné z dalších stran | {a,tb,va} {a,tc,va} {b,tc,vb} {b,ta,vb} {c,tb,vc} {c,ta,vc} | 6 | ||
| 13 | 1 strana, 1 těžnice a 1 výška proti dalším stranám | {a,tb,vc} {a,tc,vb} {b,ta,vc} {b,tc,va} {c,ta,vb} {c,tb,va}
{a,tb,vb} {a,tc,vc} {b,ta,va} {b,tc,vc} {c,ta,va} {c,tb,vb} |
12 | ||
| 14 | 3 těžnice | {ta,tb,tc} | 1 | střední | |
| 15 | 2 těžnice a 1 výška ze strany, ze které jde jedna z těžnic | {ta,tb,va} {ta,tb,vb} {ta,tc,va} {ta,tc,vc} {tb,tc,vb} {tb,tc,vc} | 6 | ||
| 16 | 2 těžnice a 1 výška proti třetí straně | {ta,tb,vc} {ta,tc,vb} {tb,tc,va} | 3 | ||
| 17 | 1 těžnice a 2 výšky (1 těžnice a 1 výška proti jedné ze stran) | {ta,va,vb} {ta,va,vc} {tb,va,vb} {tb,vb,vc} {tc,va,vc} {tc,vb,vc} | 6 | ||
| 18 | 2 výšky a 1 těžnice proti třetí straně | {ta,vb,vc}{tb,va,vc}{tc,va,vb} | 3 | ||
| 19 | 3 výšky | {va,vb,vc} | 1 | vysoká | |
| 20 | 2 strany a úhel jimi sevřený (věta sus) | {a,b,γ} {a,c,β} {b,c,α} | 3 | ||
| 21 | 2 strany a úhel jimi nesevřený (věta ssu) | {a,b,α} {a,b,β} {a,c,α} {a,c,γ} {b,c,β} {b,c,γ} | 6 | ||
| 22 | 1 strana a 2 přilehlé úhly (věta usu) | {a,β,γ} {b,α,γ}{c,α,β} | 3 | nízká | |
| 23 | 1 strana, jeden úhel přilehlý a druhý proti straně | {a,α,β} {a,α,γ} {b,α,β} {b,β,γ} {c,α,γ} {c,β,γ} | 6 | ||
| 24 | 3 úhly | {α,β,γ} | 1 | lze sestrojit nekonečné množství podobných trojúhelníků | nízká |