Kardinální aritmetika

Kardinální aritmetika je součást teorie množin, která definuje operace kardinálního součtu, kardinálního součinu a kardinální mocniny jako rozšíření běžných aritmetických operací s přirozenými čísly na všechna kardinální čísla a zabývá se jejich vlastnostmi především na nekonečných množinách.

Definice kardinálního součtu a součinu

Jsou-li $\lambda ,\mu \,\!$ dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální součet a kardinální součin vztahy:

$\lambda +\mu =|(\{0\}\times \lambda )\cup (\{1\}\times \mu )|\,\!$
$\lambda .\mu =|\mu \times \lambda |\,\!$

Lidsky řečeno:
Kardinálním součtem dvou kardinálů je mohutnost jejich sjednocení, ve kterém si pomocí operace kartézského součinu s jednoprvkovou množinou zajistím jejich disjunktnost. Kardinálním součinem dvou kardinálů je mohutnost jejich kartézského součinu.

Vlastnosti kardinálního součtu a součinu

Vztah kardinálních a ordinálních operací

Zápis kardinálního součtu a součinu se nápadně podobá definici ordinálního součtu a ordinálního součinu (viz článek Ordinální aritmetika). Rozdíl je v tom, že u ordinálních operací se zajímám o typ dobrého uspořádání výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou ordinálních čísel opět ordinální číslo, zatímco u kardinálních operací se zajímám o mohutnost výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou kardinálních čísel opět kardinální číslo.

Protože každé kardinální číslo je zároveň ordinálním číslem, je třeba mezi oběma sadami operací rozlišovat, neboť výsledky se mohou lišit - shodují se pouze na konečných množinách.

Snadno se můžeme přesvědčit, že následující vztahy platí pro kardinální i pro ordinální operace stejně (stačí si dosadit použité množiny do definice součtu a součinu):

$3+7=10\,\!$
$3.7=21\,\!$
$1+\omega =\omega \,\!$
$3.\omega =\omega \,\!$

Existují ale poměrně jednoduché příklady, kde se ordinální a kardinální operace neshodují:

$\omega +7>\omega \,\!$ pro ordinální součet, ale
$\omega +7=\omega \,\!$ pro kardinální součet.
$\omega .\omega >\omega \,\!$ pro ordinální součin, ale
$\omega .\omega =\omega \,\!$ pro kardinální součin.

Trivialita kardinálního součtu a součinu

Kardinální součet a součin jsou poměrně triviální a nezajímavé (z pohledu teorie množin) operace. Jejich vlastnosti se dají shrnout do dvou řádků:

pro dva konečné kardinály (tj. pro přirozená čísla) odpovídají kardinální součet a součin běžně používaným operacím součtu a součinu
pokud je alespoň jeden ze sčítanců (resp. jeden z činitelů) nekonečný je hodnota součtu i součinu rovna maximu z obou sčítanců (resp. činitelů): $\lambda .\mu =\lambda +\mu =\max(\lambda ,\mu )\,\!$

Pokud použiji zápis nekonečných kardinálů pomocí funkce alef, dostávám tvrzení

$(\forall \alpha ,\beta \in On)(\aleph _{\alpha }.\aleph _{\beta }=\aleph _{\alpha }+\aleph _{\beta }=\max(\aleph _{\alpha },\aleph _{\beta }))\,\!$

Definice kardinální mocniny

Jsou-li $\lambda ,\mu \,\!$ dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální mocninu $\lambda ^{\mu }\,\!$ jako mohutnost množiny všech zobrazení množiny $\mu \,\!$ do množiny $\lambda \,\!$ .

Základní vlastnosti kardinální mocniny

Kardinální mocnina má podobné základní vlastnosti jako běžná mocnina na přirozených číslech nebo ordinální mocnina:

$0^{0}=1\,\!$
$0^{\lambda }=0\,\!$ pro $\lambda >0\,\!$
$\lambda ^{0}=1\,\!$
$1^{\lambda }=1\,\!$
$\lambda ^{\mu _{1}+\mu _{2}}=\lambda ^{\mu _{1}}.\lambda ^{\mu _{2}}\,\!$
$(\lambda ^{\mu _{1}})^{\mu _{2}}=\lambda ^{\mu _{1}.\mu _{2}}\,\!$

Stejně jako součet a součin, i mocnina se na oboru nekonečných kardinálů začíná podstatně lišit od ordinální mocniny:

${\lambda }^{\mu }=\lambda \,\!$ pro $\lambda \,\!$ nekonečné a $\mu \,\!$ konečné
${\lambda }^{\mu }=2^{\mu }\,\!$ pro $\mu \,\!$ nekonečné a $2\leq \lambda \leq \mu \,\!$

První z těchto dvou vztahů nám říká, že konečné exponenty pro nekonečný základ nejsou zajímavé, neboť dostanu opět původní číslo.

Pokud do druhého vzorce dosadím $\lambda =\omega \,\!$ a $\mu =\omega \,\!$ , dostávám výsledek
$\omega ^{\omega }=2^{\omega }\,\!$ ,
což znamená, že všech zobrazení z přirozených čísel do přirozených čísel je stejně jako zobrazení přirozených čísel do množiny $\{0,1\}\,\!$ - a to je vlastně totéž, jako potenční množina $\mathbb {P} (\omega )\,\!$

Dá se ukázat, že $\mathbb {P} (\omega )\,\!$ má stejnou mohutnost jako množina $\mathbb {R} \,\!$ všech reálných čísel, tj. $|\mathbb {P} (\omega )|=|\mathbb {R} |=2^{\omega }\,\!$ - proto je tato mohutnost obvykle označována jako mohutnost kontinua.

Co víme o kardinálních mocninách čísla 2

Nabízí se zdánlivě jednoduchá otázka: který kardinál je mohutnost kontinua, tj. (přeloženo do značení pomocí funkce alef, kde $\omega =\aleph _{0}$ ) pro které $\alpha \,\!$ platí
$\aleph _{\alpha }=2^{\aleph _{0}}$ ?

Tato zdánlivě jednoduchá otázka nemá z běžných axiomů teorie množin (ZF) odpověď. Jednu z možných odpovědí dává hypotéza kontinua: $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$ , což je intuitivně asi nejpřijatelnější. Tato hypotéza se nedá dokázat ani vyvrátit z axiomů teorie množin, je na nich nezávislá. Stejně tak je nezávislá i hypotéza $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}$ nebo $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{137}$ .

Jediné, co lze spolehlivě zjistit z axiomů teorie množin o průběhu funkce $2^{\aleph _{\alpha }}$ jsou následující tři údaje:

$\alpha \leq \beta \implies 2^{\aleph _{\alpha }}\leq 2^{\aleph _{\beta }}$
$\aleph _{\alpha }<2^{\aleph _{\alpha }}$
$\aleph _{\alpha }<cf(2^{\aleph _{\alpha }})$ , kde $cf(\lambda )\,\!$ je kofinál kardinálu kde $\lambda \,\!$

Zobecněním hypotézy kontinua získáváme lepší představu o tom, jak se chovají kardinální mocniny čísla 2 pro všechny kardinály:
$2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$ pro každý ordinál $\alpha \,\!$

I tato hypotéza je však nezávislá na axiomech teorie množin. Nezávislé je dokonce i tvrzení, které vypadá na první pohled velice podezřele:
Kterýkoliv regulární kardinál může být první, na kterém bude porušena zobecněná hypotéza kontinua.

Například tedy můžeme klidně tvrdit, že

$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$
$2^{\aleph _{1}}=\aleph _{2}$
$2^{\aleph _{2}}=\aleph _{3}$
$2^{\aleph _{3}}=\aleph _{4}$

ale

$2^{\aleph _{4}}=\aleph _{100}$

Takováto „hypotéza“ je opět nezávislá na axiomech teorie množin - udivující v tomto případě je především to, že ji nelze vyvrátit.

Související články