Heronův vzorec
Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v eukleidovské rovině) pomocí délek jeho stran.
Pokud 3 kladná čísla splňují trojúhelníkovou nerovnost, existuje v eukleidovské rovině (podle věty sss) až na polohu a orientaci jediný trojúhelník s těmito délkami stran. Takže je jednoznačně určen i jeho obsah a je tedy funkcí stran. Ta musí být obecně symetrická a kvadraticky homogenní a H. v. ukazuje, jak přesně vypadá.
Vzorec
[editovat | editovat zdroj]Jsou-li délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah
kde je poloviční obvod trojúhelníku.
Důkaz
[editovat | editovat zdroj]Heronův vzorec lze odvodit již na základní škole, spočívá na Pythagorově větě.
Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro pravoúhlý trojúhelník na obrázku platí:
Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:
Z tohoto vztahu vyjádříme x:
Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:
Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku
dostaneme
Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:
Dosadíme poloviční obvod s,
a dostáváme výsledný vzorec:
Historie
[editovat | editovat zdroj]Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v první polovině 1. století.[1]
Poznámky
[editovat | editovat zdroj]Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.
Díky trojúhelníkové nerovnosti jsou všechny činitele odmocněnce H. v. kladné.
Jedná se asi o nejsložitější matematický vzorec základní školy.
Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.
Reference
[editovat | editovat zdroj]Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]- Obrázky, zvuky či videa k tématu Heronův vzorec na Wikimedia Commons
- důkaz Heronova vzorce