Heronův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v euklidovské rovině), pomocí délek jeho stran.

Vzorec[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah

kde je poloviční obvod trojúhelníka.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Heronuv vzorec small.png

Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro ostroúhlý trojúhelník na obrázku platí:





Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:



Z tohoto vztahu vyjádříme x:



Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:











Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku



dostaneme



Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:







Dosadíme poloviční obvod s,



a dostáváme výsledný vzorec:







Historie[editovat | editovat zdroj]

Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v roce 60 př. n. l.[1]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.

Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.

Obsah trojúhelníku je symetrická kvadraticky homogenní funkce jeho stran, H. v. ukazuje její konkrétní tvar.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]