Heronův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v euklidovské rovině), pomocí délek jeho stran.

Vzorec[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah

kde je poloviční obvod trojúhelníka.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Heronuv vzorec small.png

Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro ostroúhlý trojúhelník na obrázku platí:





Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:



Z tohoto vztahu vyjádříme x:



Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem, což nevadí. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:











Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku



dostaneme



Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:







Dosadíme poloviční obvod s,



a dostáváme výsledný vzorec:







Historie[editovat | editovat zdroj]

Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v roce 60 př. n. l.[1]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.

Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.

Obsah trojúhelníku je symetrická kvadraticky homogenní funkce jeho stran.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]