Heronův vzorec

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v euklidovské rovině), pomocí délek jeho stran.

Obsah

1 Vzorec
2 Důkaz
3 Historie
4 Poznámky
5 Reference
6 Související články
7 Externí odkazy

Vzorec[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li $a,b,c$ $a, b, c$ délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah

S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c)},

kde $s={\frac {a+b+c}{2}}$ $s= \frac {a + b +c}{2}$ je poloviční obvod trojúhelníka.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro ostroúhlý trojúhelník na obrázku platí:

$\ x^{2}+v^{2}=c^{2}$ $\ x^2 + v^2 = c^2$

$\ (a-x)^{2}+v^{2}=b^{2}$ $\ (a-x)^2 + v^2 = b^2$

Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:

$\ a^{2}-2ax=b^{2}-c^{2}$ $\ a^2 - 2ax = b^2 - c^2$

Z tohoto vztahu vyjádříme x:

$x={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}$ $x= \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}$

Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem, což nevadí. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:

$\ v^{2}=c^{2}-x^{2}$ $\ v^2 = c^2 - x^2$

$v^{2}=c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}$ $v^2 = c^2 - \left(\frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)^2$

$v^{2}=c^{2}-{\frac {\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}$ $v^2 = c^2 - \frac {\left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}$

$v^{2}={\frac {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}$ $v^2 =\frac{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}$

$v={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2a}}$ $v =\frac{\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{2a}$

Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku

$S={\frac {av}{2}},$ $S= \frac {av}{2},$

dostaneme

$S={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{4}}$ $S= \frac {\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{4}$

Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:

$S={\frac {\sqrt {\left(2ac+a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)\left(2ac-a^{2}-c^{2}+b^{2}\right)}}{4}}$ $S= \frac {\sqrt{\left(2ac + a^2 + c^2 - b^2\right)\left(2ac - a^2 - c^2 + b^2\right)}}{4}$

$S={\frac {\sqrt {\left[\left(a+c\right)^{2}-b^{2}\right]\left[b^{2}-\left(a-c\right)^{2}\right]}}{4}}$ $S= \frac {\sqrt{\left[\left(a + c \right)^2 - b^2\right]\left[b^2 - \left(a - c \right)^2\right]}}{4}$

$S={\frac {\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\left(b-a+c\right)}}{4}}$ $S= \frac {\sqrt{\left(a + c + b\right)\left(a + c - b\right)\left(b + a - c\right)\left(b - a + c\right)}}{4}$

Dosadíme poloviční obvod s,

$\ a+b+c=2s$ $\ a + b + c = 2s$

a dostáváme výsledný vzorec:

$S={\frac {\sqrt {2s\left(2s-2a\right)\left(2s-2b\right)\left(2s-2c\right)}}{4}}$ $S= \frac {\sqrt{2s\left(2s - 2a\right)\left(2s - 2b\right)\left(2s - 2c\right)}}{4}$

$S={\frac {\sqrt {16s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}{4}}$ $S= \frac {\sqrt{16s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}}{4}$

$S={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$ $S= \sqrt{s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}$