Fundované jádro

Fundované jádro (ozn. WF) je matematický pojem z oblasti teorie množin. V axiomatizaci ZF_ (Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti) vymezuje třídu množin, která je vnitřním modelem ZF v ZF_.

Definice

Fundované jádro lze definovat transfinitní rekurzí iterováním operace potence z prázdné množiny takto:

Nejprve definujeme posloupnost množin $\,V_{\alpha }$ pro $\alpha \in On$ (On je třída všech ordinálních čísel).

$V_{0}=\emptyset$
$V_{\alpha +1}=\,P(V_{\alpha })$
$V_{\delta }=\bigcup _{\beta <\delta }V_{\beta }$ pro $\delta$ limitní

Fundované jádro (WF) pak definujeme $\mathbb {WF} =\bigcup _{\alpha \in On}V_{\alpha }$ .

Vlastnosti

Třída WF má mnoho důležitých vlastností.

Uzavřenost WF

Třída WF je uzavřená na všechny definovatelné množinové operace a v důsledku tedy obsahuje i všechny definovatelné množinové konstanty (nulární operace), mezi něž patří speciálně všechny základní číselné obory. Dokonce množiny $\mathbb {N,Z,Q,R,C}$ všech po řadě přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel jsou prvky již množiny $\,V_{\omega +\omega }$ z definice WF.

WF jako model ZF

Třída WF je vnitřním modelem ZF v ZF_ (tj. ve WF platí všechny (do WF relativizované) axiomy ZF, včetně axiomu fundovanosti).

Vztah WF a ∈

Třída WF je největší (vzhledem k inkluzi) [[tranzitivní množina|tranzitivní třída]], na níž je relace $\in$ fundovaná.

Mostowského věta o kolapsu

Mostovského věta o kolapsu říká, že ve WF lze pomocí ∈ simulovat všechny myslitelné binární relační struktury „příjemných“ vlastností. Zní takto:

Pro každou úzkou extenzionální (na A) a fundovanou (na A) relaci R na třídě A existuje jednoznačně určená tranzitivní podtřída T třídy WF taková, že struktury <R,A> a <∈,T> jsou izomorfní.

Vztah ke třídě konstruovatelných množin

V ZF_ je dokazatelné $\mathbb {L} \subseteq \mathbb {WF} \subseteq \mathbb {V}$ , kde $\mathbb {L}$ je třída všech konstruovatelných množin a $\mathbb {V}$ je univerzální třída.

WF a axiom fundovanosti

Axiom fundovanosti platí ve WF (tj. platí zde jeho relativizace do WF). Axiom fundovanosti je dokonce ekvivalentní s tvrzením, že každá množina leží ve WF (tj. $(AF)\Leftrightarrow (\mathbb {V} =\mathbb {WF} )$ ).

Související články

Konstruovatelná množina