Fundovaná relace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Fundovaná relace je matematický pojem z oboru teorie množin, který popisuje druh relace podobný dobrému uspořádání.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Relace R je fundovaná na třídě A, jestliže každá její neprázdná podmnožina R-minimální prvek označovaný symbolem .
Prvek označíme za R-minimální prvek množiny B, pokud platí

Vysvětlení a vlastnosti pojmu[editovat | editovat zdroj]

R-minimální prvek je takový prvek nějaké podmnožiny B, pro který neexistuje žádný menší (ve smyslu relace R) v této podmnožině. Důvod, proč nemluvíme rovnou o minimálním prvku je ten, že nikde není řečeno, že fundovaná relace R je uspořádání - což ostatně opravdu nemusí být pravda.

Fundovaná relace totiž opravdu nemusí být uspořádání, i když na první pohled trochu připomíná ostré uspořádání. Problém je v tom, že fundovaná relace nemusí být (na rozdíl od uspořádání) tranzitivní.

Příklad: Na tříprvkové množině definujme relaci . Snadno se dá ověřit, že taková relace je fundovaná, ale není tranzitivní - to by totiž musela obsahovat i uspořádanou dvojici .

Fundovaná relace nesmí obsahovat žádný konečný cyklus (v tom se podobá ostrému uspořádání).
Kdybychom v předchozím příkladě přidali dvojici , vznikla by relace , která již není fundovaná - množina nemá v tomto případě žádný R-minimální prvek.

Fundovaná relace nesmí obsahovat žádnou nekonečnou klesající posloupnost (v tom se podobá dobrému uspořádání).
Pokud najdu posloupnost prvků takových že pro každé i je , pak množina nemá žádný R-minimální prvek.

Konečný cyklus je zvláštní případ, vedoucí na nekonečnou klesající posloupnost - pokud se vrátím k předchozímu příkladu s relací , můžu sestojit nekonečnou klesající posloupnost .

Z axiomu výběru se dá ukázat, že relace R je fundovaná tehdy a jen tehdy, když neobsahuje nekonečnou klesající posloupnost.

Význam pojmu[editovat | editovat zdroj]

Axiom fundovanosti[editovat | editovat zdroj]

Motivace k zavedení pojmu a jeho význam vyplývá z axiomu fundovanosti.

Tento axiom lze v ekvivalentní podobě zapsat jako , kde je fundované jádro a univerzální třída, tj. třída všech množin.

Podstatou důkazu výše uvedené ekvivalence, je věta, podle které je největší tranzitivní třída, na které je relace fundovaná.

Transfinitní indukce a rekurze[editovat | editovat zdroj]

Na každé třídě s fundovanou relací takovou, že levým obrazem každého prvku je množina (a ne vlastní třída), se dá provádět fundovaná indukce a fundovaná rekurze, jejichž speciálním případem je transfinitní indukce a transfinitní rekurze přes fundovanou operaci náležení na ordinálních číslech; ještě speciálnějšími případy jsou matematická indukce a rekurze přes přirozená čísla.

Související články[editovat | editovat zdroj]