Charakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice[1]) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu[2]. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty[1], které lze obecně zapsat
![{\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f32695f6fe4bc724a8367710058830306141015)
kde
je závislá proměnná a
jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru
![{\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdcd5a4414254370c598c93e6cad75ea8f0b8fd)
Z kořenů
charakteristické rovnice můžeme zkonstruovat obecné řešení diferenciální rovnice[1][3][4]. Tuto metodu řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty objevil Leonhard Euler, který našel vztah mezi uvedenými rovnicemi[2]. Vlastnosti Eulerovy charakteristické rovnice později podrobněji studovali francouzští matematici Augustin Louis Cauchy a Gaspard Monge[2][4].
Hledáme-li řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty
,
![{\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{'}+a_{0}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cd7e30a005e41379a723b46efb9d16fff334e6)
vidíme, že pokud by se řešení rovnalo
, každý sčítanec v rovnici bude konstantním násobkem
. To pramení z faktu, že derivace exponenciální funkce
je násobkem původní funkce, čili
,
a
jsou všechno násobky
. To naznačuje, že určité hodnoty
dovolují, aby součet násobků
dával nulu, a řešil homogenní diferenciální rovnici[3]. Abychom zjistili hodnotu
, dosadíme funkci
a její derivace do diferenciální rovnice za
a jeho derivace, čímž dostaneme
![{\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640a4779b8bc9eec25c28c0ca118764efa7273b1)
Protože
není nikdy rovno nule, můžeme jím rovnici vydělit, čímž dostaneme charakteristickou rovnici
![{\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdcd5a4414254370c598c93e6cad75ea8f0b8fd)
Když nalezneme kořeny
této charakteristické rovnice, můžeme z nich sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice[1][4]. Například jestliže se jeden kořen rovná 3, pak obecné řešení bude
, kde
je konstanta.
Příklad
|
Lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty
![{\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70215f1120991067260a52bfdcdc21e15b3cac3e)
má charakteristickou rovnici
.
Její faktorizací dostaneme
![{\displaystyle (r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24510255af6d4fefacf4db2f0bae5c0bbcd53ebf)
z čehož vidíme, že řešeními rovnice je jeden jednoduchý kořen a dvě dvojice komplexních kořenů . Z toho plyne, že diferenciální rovnice má reálné obecné řešení
![{\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f3a333a395c96c17a6efe7052dbc549756ff2d)
kde jsou reálné konstanty
|
Naleznutí kořenů
charakteristické rovnice, nám umožňuje sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Kořeny mohou být reálné i komplexní a jednoduché nebo vícenásobné. Jestliže charakteristická rovnice má složky s jednoduchými reálnými kořeny,
násobnými kořeny a
komplexními kořeny po řadě odpovídajícími obecným řešením
,
a
, pak obecné řešení diferenciální rovnice je
![{\displaystyle y(x)=y_{D}(x)+y_{R_{1}}(x)+\cdots +y_{R_{h}}(x)+y_{C_{1}}(x)+\cdots +y_{C_{k}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c3ad6fff4298a470de41030bdd7e58a1649e91)
Princip superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty říká, že jestliže
jsou
lineárně nezávislé řešení určité diferenciální rovnice, pak jejich každá lineární kombinace
je také řešením rovnice pro libovolné hodnoty
[1][5]. Proto pokud má charakteristická rovnice jednoduché reálné kořeny
, její obecné řešení bude mít tvar
![{\displaystyle y_{D}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b49a1284fcd93d551492ffdabce1c4405cffd12)
Jestliže charakteristická rovnice má
násobný kořen
, pak je zřejmé, že
je alespoň jedno její řešení[1]. Ale toto řešení není lineárně nezávislé s dalšími
kořeny. Protože
má násobnost
, diferenciální rovnici můžeme faktorizovat na[1]
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e847e0be9083b447385da5c128c6382e664fbae)
Skutečnost, že
je jedno řešení, nám umožňuje předpokládat, že obecné řešení má tvar
, kde
je funkce, kterou je třeba nalézt. Substituce
dává
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ue^{r_{1}x})-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace7b1f58bd2f256a73b1348fd0ded0c443e3711)
pro
.
násobným použitím této skutečnosti dostáváme
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1398794f80eeceda9a790a0101e0361fdfe4d716)
což po vydělení
dává
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)=u^{(k)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2034214a4ab86f81d20ef331b1d702f876314d5b)
To platí právě tehdy, když
je polynom stupně
, neboli
[4]. Protože
, část obecného řešení odpovídající
je
![{\displaystyle y_{R}(x)=e^{r_{1}x}(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5b031529c41500cf63a31ccf88ca86167c29c5)
Pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny ve tvaru
a
, pak obecné řešení je
. Použitím Eulerova vzorce
můžeme toto řešení upravit:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}y(x)&=&c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=&c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=&(c_{1}+c_{2})e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33685e28219589732f9f4f097916983eb5ed1b23)
kde
a
jsou libovolné (i komplexní) konstanty[4].
Pokud použijeme konstanty
, pak dostaneme partikulární řešení
.
Pokud použijeme konstanty
a
, pak dostaneme lineárně nezávislé řešení
. Díky principu superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, můžeme příspěvek k obecnému řešení diferenciální rovnice pro dvojici komplexně sdružených kořenů
vyjádřit vzorcem
.
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Characteristic equation (calculus) na anglické Wikipedii.
- ↑ a b c d e f g EDWARDS, C. Henry; PENNEY, David E. Differential Equations: Computing and Modeling. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education, 2004. Dostupné online. ISBN 978-0-13-600438-7. Kapitola 3.
- ↑ a b c SMITH, David Eugene. History of Modern Mathematics: Differential Equations [online]. University of South Florida. Dostupné online.
- ↑ a b CHU, Herman; SHAH, Gaurav; MACALL, Tom. Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients [online]. eFunda. Dostupné online.
- ↑ a b c d e COHEN, Abraham. An Elementary Treatise on Differential Equations. [s.l.]: D. C. Heath and Company, 1906. Dostupné online.
- ↑ DAWKINS, Paul. Dostupné online.