Brownův pohyb

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Znázornění Brownova pohybu na záznamu polohy nahodile se pohybující částice. Zobrazení téhož pohybu nezávisle v 32, 256 a 2048 krocích je znázorněno postupně světlejšími barvami

Brownův pohyb je náhodný pohyb mikroskopických částic v kapalném nebo plynném médiu. Je limitou náhodné procházky. Vysvětlením Brownova pohybu je, že molekuly v roztoku se vlivem tepelného pohybu neustále srážejí, přičemž směr a síla těchto srážek jsou náhodné, díky čemuž je i okamžitá poloha částice náhodná. Rychlost Brownova pohybu je úměrná teplotě systému.

Brownův pohyb poprvé zaznamenal v roce 1827 biolog Robert Brown, když pozoroval chování pylových zrnek ve vodě. Aby vyloučil možnost, že pohyb je projevem případného života, opakoval experiment s částicemi prachu. Podstatu tohoto jevu objasnil v roce 1905 Albert Einstein, vycházeje z kinetické teorie látek.

Souvislost s difuzí[editovat | editovat zdroj]

Brownův pohyb má význam např. pro pochopení difuze látek v prostředí. S přibývajícím časem, na základě stochastické pravděpodobnosti jsou molekuly neustálým nahodilým pohybem rozptylovány z místa s nejvyšší koncentrací. Některé molekuly se v následných krocích sice nahodile vrací směrem k centru, jiné však již nikoli a soubor všech částic se tak od sebe rozptyluje. Molekuly se v důsledku náhodného pohybu rozptýlí – difundují do okolí. Celková entropie systému se zvýší.

Odvození Einsteinova vzorce pro Brownův pohyb[editovat | editovat zdroj]

Vyjdeme z Langevinovy rovnice (rovnice pro popis Brownova pohybu):

kde v je rychlost, F'(t) fluktuující síla, ξ je frikční koeficient.

Pro frikční koeficient vyjdeme ze Stokesovy formule pro kouli (předpokládáme kulatou částici):
Kde μ je dynamická viskozita. r je poloměr částice.

Vynásobíme langevinovu rovnici souřadnicí:

Upravíme (derivace součinu):

Střední hodnota:

Souřadnice je nekorelovaná, proto vymizí ve střední hodnotě:

Ekvipartiční teorém ve 3D: kde k je Boltzmanova konstanta a T je termodynamická teplota

Po úpravě dostaneme:

Řešení této diferenciální rovnice je (protože ):

Provedeme trik s derivací a dosadíme do následujícího výrazu výraz výše:

Dostaneme:

Aproximace: odpovídá Brownově pohybu. Výsledek se redukuje na:


Což je výsledek pro Brownův pohyb ve 3D.

Kdybychom chtěli 1D Brownův pohyb postup by byl stejný, až na ekvipartiční teorém, který v 1D zní , jelikož máme jen jeden stupeň volnosti. Dostaneme pak následující vzorec pro Brownův pohyb v 1D:

Literatura a odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]