Bilineární interpolace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice, je bilineární interpolace rozšíření lineární interpolace pro interpolaci funkce dvou proměnných na pravidelnou prostorovou mřížku. Klíčová myšlenka je provést lineární interpolaci nejprve v jednom směru a pak i ve druhém směru.

Čtyři červené tečky ukazují datové body a zelená tečka je bod který chceme interpolovat.
Například bilineární interpolace na jednotkovým čtverci se z-hodnotami 0, 1, 1 a 0.5 jako signalizace. Interpolační hodnoty uprostřed jsou reprezentovány barvami.

Předpokládejme, že chceme najít hodnotu neznámé funkce f v bodě P = (x, y). Předpokladem je, že známe hodnotu f ve čtyřech bodech Q11 = (x1y1), Q12 = (x1y2), Q21 = (x2y1), a Q22 = (x2y2).

Nejprve provedeme lineární interpolaci v x-ovém směru. To znamená:

 

A teď budeme pokračovat v y-ovém směru.

Nyní máme požadovaný odhad f(x, y).

Pokud si vybereme souřadící systém se čtyřmi body, kde funkce f je zadána body (0, 0), (0, 1), (1, 0), a (1, 1), pak se vzorec zjednoduší:

Nebo ekvivalentně, maticovými operacemi:

Oproti tomu, co říká název, interpolace není lineární. Místo toho je její vzorec

takže je součinem dvou lineárních funkcí. Stejně tak lze interpolaci zapsat jako

kde

.

V obou případech počet konstant (čtyři) odpovídá počtu daných bodů, které funkce f udává. Interpolace je lineární podle přímky, která je rovnoběžná buď se směrem nebo , ekvivalentně je-li nebo nastaveno konstantně. Rovnoběžně s další přímkou je interpolace kvadratická.

Výsledek bilineární interpolace je nezávislý na pořadí interpolací. Kdybychom nejprve provedli lineární interpolaci na ose y a pak v x-ovém směru, výsledná aproximace bude stejná.

Zřejmým rozšířením bilineární interpolace je třírozměrná interpolace - třílineární interpolace.

Související články[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bilinear interpolation na anglické Wikipedii.