Bernoulliho číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Bernoulliho čísla je nekonečná posloupnost racionálních čísel kterou popsal v roce 1631 Johann Faulhaber jako nástroj pro usnadnění počítání sum určitých mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel. Toto použití a některé jejich vlastnosti podrobně popsal Jacob Bernoulli v knize Ars Conjectandi (vydané po smrti autora v roce 1713). Uvádí tam mimo jiné, že použitím Faulhaberova vzorce (viz níže) dokáže spočítat součet: „za půl čtvrthodiny”.

Bernoulliho čísla našla použití v matematické analýze (při rozvoji funkcí v Taylorovu řadu) a v teorii čísel.

Definice[editovat | editovat zdroj]

V současné době existují v matematice dvě definice Bernoulliho čísel: novější – uvedená níže jako definice 1 a starší – níže citovaná jako definice 2. Pro rozlišení se Bernoulliho čísla podle definice 1 označují a podle definice 2 Čísla tvoří vlastní podmnožinu hodnot

Bernoulliho čísla – definice 1[editovat | editovat zdroj]

Bernoulliho čísla jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:[1]

Tato řada konverguje pro

Bernoulliho čísla je možné také definovat rekurentně pomocí vzorce:

kde

Bernoulliho čísla s lichými indexy většími než 2 podle této definice jsou rovna 0.

Čísla se sudými indexy většími než 0 jsou střídavě kladná a záporná.

Prvních 21 Bernoulliho čísel počínaje :

Bernoulliho čísla – definice 2[editovat | editovat zdroj]

Bernoulliho čísla jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:

Prvních několik Bernoulliho čísel počínaje :

Vztah mezi čísly a popisuje vzorec:

Asymptotický vzorec[editovat | editovat zdroj]

Použitím Stirlingova vzorce získáme následující přiblížení hodnot Bernoulliho čísel:

Staudtova věta[editovat | editovat zdroj]

Každé Bernoulliho číslo je možné vyjádřit ve tvaru[2]:

kde je přirozené číslo, a sčítání se provádí pro takové dělitele k čísla pro které je prvočíslo.

Například Bernoulliho číslo je možné zapsat ve tvaru protože číslo 6 má čtyři dělitele: 1, 2, 3, 6, z nichž tři (1, 2, 6) jsou čísla o 1 menší než než prvočísla 2, 3, 7.

Příklady použití[editovat | editovat zdroj]

Bernoulliho čísla se objevují v Taylorových rozvojích mnoha funkcí jako aj.

Faulhaberův vzorec pro součet mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel:

Vztah s Riemannovou funkcí zeta popisuje Eulerův vzorec:

Z něj plyne, že

Další vzorec pocházející od Leonharda Eulera:

Bernoulliho čísla byla studována mj. spolu s regulárními prvočísly. Mnoho dalších vlastnosti Bernoulliho čísel a jejich dalších použití je možné najít v níže uvedené literatuře.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Liczby Bernoulliego na polské Wikipedii.

  1. Encyklopedia PWN, liczby Bernoulliego.
  2. Гельфонд 1952, s. 336–337.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]