Bernsteinův polynom

V teorii numerické matematiky je Bernsteinův polynom, nebo také polynom v Bernsteinově tvaru, polynomem, který je lineární kombinací Bernsteinových bázových polynomů.

Numericky stabilní cestou k výpočtu Bernsteinových polynomů je tzv. Algoritmus de Casteljau.

Polynomy v Bernsteinově tvaru byly poprvé použity v konstrukčním důkaze Stone-Weierstrassovy aproximační věty. S rozvojem počítačové grafiky se Bernsteinovy polynomy omezené na intervalu $[0,1]$ staly důležitými ve formě Beziérových křivek.

Definice

n+1 Bernsteinových bázových polynomů stupně $n$ je definováno vztahem

$b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu },\qquad \nu =0,\ldots ,n.$

kde ${n \choose \nu }$ je binomický koeficient.

Bernsteinovy bázové polynomy stupně $n$ tvoří bázi vektorového prostoru polynomů stupně $n$.
Lineární kombinace Bernsteinových bázových polynomů

$B(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)$

se nazývá Bernsteinův polynom, neboli polynom v Bernsteinově tvaru stupně $n$. Koeficienty $\beta _{\nu }$ jsou nazývány Bernsteinovy koeficienty, nebo také Beziérovy koeficienty.

Vlastnosti

Rozklad jednotky

Báze tvořená Bernsteinovými polynomy tvoří rozklad jednotky na intervalu $<0;1>$.

$\sum _{i=0}^{n}{b_{i,n}(x)}=1$

Symetrie

V bázi tvořené Bernsteinovými polynomy existují vždy symetrické polynomy.

$b_{i,n}(x)=b_{n-i,n}(1-x)$

Důkaz:

$b_{n-i,n}(1-x)={n \choose n-i}(1-x)^{n-i}(1-(1-x))^{n-(n-i)}$

Z vlastností kombinačních čísel vyplývá:

${n \choose i}={n \choose n-i}$

Nyní stačí upravit předchozí rovnici a získáme že:

$b_{n-i,n}(1-x)={n \choose n-i}(1-x)^{n-i}(1-(1-x))^{n-(n-i)}={n \choose i}(1-x)^{n-i}(x)^{i}=b_{i,n}(x)$

Rekurence

Bernsteinovy polynomy jsou rekurentní. To znamená že Bernsteinův polynom lze definovat použitím polynomu nižšího řádu.

$b_{i,n}(x)=(1-x)b_{i,n-1}(x)+tb_{i-1,n-1}(x)$

Derivace

$b_{i,n}(x)'=n(b_{i-1,n-1}(x)-b{i,n-1}(x))$

Lokální maximum

Na intervalu $<0;1>$ je maximum v bodě $x={\frac {i}{n}}$.

Důkaz: Maximum najdeme skrze derivaci:

$b_{i,n}(x)'={n \choose i}x^{i-1}(1-x)^{n-i-1}[i(1-x)-x(n-i)]$

Nyní můžeme nahlédnout, že pro body $x=0,1$ nezískáme nulovou derivaci. Proto zbývá pouze činitel v závorce, který můžeme položit nule.

$i(1-x)-x(n-i)=0$

$i-ix-xn+ix=0$

$xn=i$

$x={\frac {i}{n}}$

Že tento bod leží na intervalu $<0;1>$ vyplývá z nerovnosti $0\leq i\leq n$.

Příklad

Prvních několik Bernsteinových bázových polynomů vypadá takto:

$b_{0,0}(x)=1\,$

$b_{0,1}(x)=1-x\,$

$b_{1,1}(x)=x\,$

$b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}\,$

$b_{1,2}(x)=2x(1-x)\,$

$b_{2,2}(x)=x^{2}\ .$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernstein_polynomial na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Bernsteinův polynom na Wikimedia Commons

Portály: Matematika