Cykloida

Cykloida je transcendentní cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kutálí) po přímce.

Cykloida má tvar donekonečna se opakujících oblouků.

Prostá cykloida

Pokud bod pevně spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak při valení této kružnice po přímce opisuje tento bod prostou (obecnou, obyčejnou) cykloidu.

Prostou cykloidu lze vyjádřit parametricky:

x=a(t-\sin t)

,

y=a(1-\cos t)

,

kde $a$ je poloměr kružnice a parametr $t$ je úhel otočení kutálející se kružnice.

První, resp. druhou polovinu prvního oblouku prosté cykloidy lze vyjádřit v explicitním tvaru

x=a\arccos {\frac {a-y}{a}}-{\sqrt {y(2a-y)}}

pro $x\in \langle 0,\pi a\rangle$ , resp.

x=a\left(2\pi -\arccos {\frac {a-y}{a}}\right)+{\sqrt {y(2a-y)}}

pro $x\in \langle \pi a,2\pi a\rangle$ .

Perioda cykloidy je $2\pi a$ .

Délka oblouku dané větve prosté cykloidy od hrotu do bodu $[x(t),y(t)]$ pro $t\in \langle 0,2\pi \rangle$ je

s=4a\left(1-\cos {\frac {t}{2}}\right)

.

Dosazením periody získáme pro délku jedné větve prosté cykloidy výraz

s=8a

.

Obsah plochy ohraničené jednou větví prosté cykloidy je

S=3\pi a^{2}

.

Poloměr křivosti v bodě různém od hrotu prosté cykloidy je

R=4a\left|\sin {\frac {t}{2}}\right|

,

takže poloměr křivosti ve vrcholu je maximální:

R=4a

.

Nejjednodušší přirozená rovnice prosté cykloidy je

R^{2}+s^{2}=16a^{2},s\in \langle -4a,+4a\rangle ,

kde však oblouk $s$ počítáme od vrcholu.

Evolutou cykloidy je shodná cykloida, která je ve směru osy $x$ posunuta o $\pi a$ souhlasně s původní cykloidou a ve směru osy $y$ je posunuta o $2a$ nesouhlasně s orientací původní cykloidy.

Zkrácená a prodloužená cykloida

Pokud bod pevně spojený s kutálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho vzdálenost od středu kružnice o poloměru $a$ je $d$ , pak pro $d<a$ získáme cykloidu zkrácenou a pro $d>a$ cykloidu prodlouženou.

Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru

x=at-d\sin t

y=a-d\cos t

Vlastnosti

Prostá cykloida má nekonečně mnoho hrotů.
Všechny prosté cykloidy mají stejný tvar, jsou podobné.
Zkrácená cykloida má nekonečně mnoho inflexních bodů.
Prodloužená cykloida má nekonečně mnoho uzlů (dvojných bodů).
Oblouk cykloidy snese ze všech oblouků největší zatížení, proto mnoho oblouků mostů má právě její tvar.
Část cykloidy je řešením úlohy o brachistochroně

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Cykloida na Wikimedia Commons
Jak vyrobit brachistochronu (video)
Cykloidy v Cabri
Cyklické pohyby (teorie, obrázky v Gnuplotu)