Hausdorffova míra

Hausdorffova míra (dále $\mathbf {H} ^{s}$) je „nížedimenzionální“ míra na $\mathbb {R} ^{n}$, která dovoluje měřit jisté „velmi malé“ podmnožiny $\mathbb {R} ^{n}$. Základní myšlenkou je, že množina $\mathbf {A}$ je „s-dimenzionální“ podmnožina množiny $\mathbb {R} ^{n}$, platí-li

$0<H^{s}(A)<\infty$,

i když $\mathbf {A}$ je velmi komplikovaná. $\mathbf {H} ^{s}$ je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí.

Formální definice Hausdorffovy míry

Definice: Nechť $\mathbf {A} \subset \mathbb {R} ^{n},0\leq s<\infty ,0<\delta \leq \infty$ Definujme

$(i)\,\mathbf {H} _{\delta }^{s}(A)=\inf \left\{{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (s)\left({\frac {\mathrm {diam} (C_{i})}{2}}\right)^{\!\!s}}\;{\Big |}\,{A\subset {\bigcup _{j=1}^{\infty }C_{j}},\mathrm {diam} (C_{j})\leq \delta }\right\},$

kde

$\alpha (s)={\frac {\pi ^{\frac {s}{2}}}{\Gamma ({\frac {s}{2}}+1)}}$

tady

$\Gamma (r)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{r-1}dx,(0<r<\infty ),$

je obyčejná gamma funkce.

$\mathbf {(} ii)$Pro $\mathbf {A}$ a $\mathbf {s}$ s vlastnostmi jako výše, definujme:

$H^{s}(A)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{s}(A)=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{s}(A)$

$\mathbf {H} ^{s}$ nazveme s-dimenzionální Hausdorffovou mírou na $\mathbb {R} ^{n}$.

Elementární vlastnosti Hausdorffovy míry

$\mathbf {H} ^{s}$ je Borelova regulární míra pro $0\leq s<\infty$, není ale Radonova míra.
Z toho plyne následující:

$(i)\mathbf {H} _{\delta }^{s}$ je míra.
$(ii)\mathbf {H} ^{s}$ je míra.
$(iii)\mathbf {H} ^{s}$ je borelovská míra.

Další zajímavé vlastnosti:

$(i)\mathbf {H} ^{0}$ je čítací míra.
$(ii)\mathbf {H} ^{1}=\mathbf {L} ^{1}$ na $\mathbb {R} ^{n}$, kde $\mathbf {L} ^{1}$ je Lebesgueova míra.
$(iii)\mathbf {H} ^{s}=0$ na $\mathbb {R} ^{n}$ pro všechna $\mathbf {s>n}$.
$(iv)\mathbf {H} ^{s}(\lambda A)=\lambda ^{s}\mathbf {H} ^{s}(A)$ pro všechna $\lambda >0,A\subset \mathbb {R} ^{n}$.
$(v)\mathbf {H} ^{s}(L(A))=\mathbf {H} ^{s}(A)$ pro všechny afinní isometrie $L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},A\subset \mathbb {R} ^{n}$.

Literatura

• Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions,
• CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.

Autoritní data	PSH: 7466

Portály: Matematika