Šestiúhelníkové číslo

První čtyři šestiúhelníková čísla

Šestiúhelníková čísla jsou figurální čísla odpovídající šestiúhelníku. Konkrétně je šestiúhelníkové číslo rovno počtu bodů, ze kterých lze sestavit pravidelný šestiúhelník dle obrázku.

Vzorec pro $n$-té šestiúhelníkové číslo $h_{n}$ je

$h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={{2n}\times {(2n-1)} \over 2}.\,\!$

Několik prvních šestiúhelníkových čísel je 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, atd.

Každé šestiúhelníkové číslo je zároveň trojúhelníkové číslo, ale jenom každé druhé trojúhelníkové číslo je šestiúhelníkové. Stejně jako u trojúhelníkových čísel může být ciferace šestiúhelníkového čísla (v desítkové soustavě) pouze 1, 3, 6 nebo 9, a to v pořadí 1, 6, 6, 1, 9, 3, 1, 3, 9, atd.

Všechna sudá dokonalá čísla jsou šestiúhelníková. Jsou dána vzorcem

$M_{p}2^{p-1}=M_{p}(M_{p}+1)/2=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}},$

kde $M_{p}$ je Mersennovo prvočíslo. Např. druhé šestiúhelníkové číslo je $2\cdot 3=6$, čtvrté je $4\cdot 7=28$, šestnácté je $16\cdot 31=496$ a šedesáté čtvrté je $64\cdot 127=8\,128$. Protože nejsou známa žádná lichá dokonalá čísla, tak jsou všechna známá dokonalá čísla šestiúhelníková.

Největší přirozené číslo, které nelze zapsat jako součet nejvýše čtyř šestiúhelníkových čísel, je 130. Adrien-Marie Legendre v roce 1830 dokázal, že se takto dají vyjádřit všechna přirozená čísla větší než 1 791.

Test šestiúhelníkovosti čísel

Zda je přirozené číslo $x$ šestiúhelníkové, lze snadno zjistit vypočítáním hodnoty následujícího výrazu:

$n={\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}.$

Pokud je $n$ celé číslo, $x$ je šestiúhelníkové číslo, jinak $x$ šestiúhelníkovým číslem není.

Ostatní vlastnosti

Alternativně lze $n$-té šestiúhelníkové číslo vyjádřit jako součet

$h_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}{(4i+1)}.$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hexagonal number na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu šestiúhelníkové číslo na Wikimedia Commons

Portály: Matematika