Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o větě z matematické analýzy. Další významy jsou uvedeny v článku Lagrangeova věta.

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny v nějakém okamžiku dosahuje průměrné rychlosti dané změny.

Rolleova věta[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Rolleova věta.

Speciálním jednodušším případem Lagrangeovy věty je Rolleova věta, ze které již věta Lagrangeova snadno plyne:

Nechť funkce f(x) \, je spojitá na intervalu \langle a,b\rangle, má derivaci v každém bodě intervalu (a,b) \, a platí f(a)=f(b) \,. Pak existuje bod c \in (a,b) takový, že f^\prime(c)=0.

Geometrický význam[editovat | editovat zdroj]

Geometrické znázornění Rolleovy věty

Rolleova věta říká, že za uvedených předpokladů existuje v intervalu (a,b) \, bod, v němž je tečna ke grafu funkce f(x) \, rovnoběžná s osou x.

Fyzikální význam[editovat | editovat zdroj]

Fyzikálně lze Rolleovu větu interpretovat takto:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“ tak, že na začátku i konci tohoto procesu má stejnou velikost, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny nulová.

Lagrangeova věta o střední hodnotě[editovat | editovat zdroj]

Lagrangeovu větu lze vyslovit následovně:

Nechť funkce f(x) \, je spojitá na intervalu \langle a,b\rangle a má v každém bodě intervalu (a,b) \, derivaci. Pak existuje bod c \in (a,b) takový, že platí f^\prime(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Protože je derivace f'(x) v bodě směrnice tečny, můžeme tvrdit že pro f(x) platí:

  • f'(c) \ge 0 \Rightarrow f(x) je v tomto bodě rostoucí
  • f'(c) \le 0 \Rightarrow f(x) je v tomto bodě klesající

Geometrický význam[editovat | editovat zdroj]

Geometrický význam Lagrangeovy věty

Lagrangeova věta tvrdí, že za uvedených předpokladů v intervalu (a,b) \, existuje bod c \,, v němž je tečna k funkci f(x) \, rovnoběžná s přímkou vedenou body (a,f(a)) \, a (b,f(b)) \,.

Fyzikální význam[editovat | editovat zdroj]

Lagrangeovu větu lze fyzikálně interpretovat následovně:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny rovna průměrné rychlosti.

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Zobecněním Lagrangeovy věty je Cauchyova věta o střední hodnotě:

Nechť funkce f(x), g(x) \, jsou spojité na intervalu \langle a,b\rangle, mají v každém bodě x \, intervalu (a,b) \, vlastní derivaci a nechť pro všechna x \in (a,b) platí g^\prime(x) \neq 0. Pak existuje bod c \in (a,b) takový, že platí \frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Dokážeme Cauchyovu větu o střední hodnotě, Lagrangeova věta pak plyne z Cauchyovy věty volbou g(x)=x \,. Protože g^\prime(x)\neq 0 pro všechna x \in (a,b), je podle obměněné implikace Rolleovy věty (důkaz) nutně g(a) \neq g(b) (ostatní předpoklady Rolleovy věty jsou splněny díky předpokladům Cauchyovy věty). Můžeme tak definovat funkci

F(x)=-f(x)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).

Funkce F \, je zřejmě spojitá na intervalu \langle a,b\rangle, má derivaci na intervalu (a,b) \, a F(a)=F(b)=-f(a) \,. F \, splňuje předpoklady Rolleovy věty a existuje tedy c \in (a,b) takové, že

0=F^\prime(c)=-f^\prime(c)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g^\prime(c)

Dle předpokladu je g^\prime(c) \neq 0 a tedy

\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.

Související články[editovat | editovat zdroj]