Rolleova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Geometrický význam Rolleovy věty.

Rolleova věta (též Rollova věta) je matematická věta diferenciálního počtu.

Věta[editovat | editovat zdroj]

Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu \left[a,b\right] a nechť pro každý bod x otevřeného intervalu \left(a,b\right) existuje derivace f'\left(x\right) a nechť f\left(a\right) = f\left(b\right). Pak existuje bod c v otevřeném intervalu \left(a,b\right), pro nějž platí

f'\left(c\right) = 0.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Důkaz rozdělíme do dvou částí:

  1. Nechť funkce f je konstantní. Potom derivace f'\left(x\right)=0, \forall x \in \left(a,b\right) a věta je dokázána.
  2. Nechť funkce f není konstantní. Jelikož f\left(a\right) = f\left(b\right) a funkce není konstantní, musí existovat d \in \left(a,b\right) takové, že f\left(d\right) > f\left(a\right) = f\left(b\right) nebo f\left(d\right) < f\left(a\right) = f\left(b\right). Předpokládejme, že f\left(d\right) > f\left(a\right) = f\left(b\right).

Využijeme věty tvrdící, že každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu \left[a,b\right] nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima a zabývejme se maximem. Jelikož existuje d \in \left(a,b\right) takové, že f\left(d\right) > f\left(a\right) = f\left(b\right), tak maximum nemůže ležet ani v a, ani v b. Leží tedy uvnitř intervalu, v bodě c. Z věty o nutné podmínce lokálního extrému vyplývá, že tedy v bodě c, kde se nalézá lokální extrém funkce, f'\left(c\right) = 0.

Analogické tvrzení platí i pro minimum.

Související články[editovat | editovat zdroj]