Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu

Tento článek pojednává o větě z matematické analýzy. Další významy jsou uvedeny v článku Lagrangeova věta.

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny v nějakém okamžiku dosahuje průměrné rychlosti dané změny.

Rolleova věta

Související informace naleznete v článku Rolleova věta.

Speciálním jednodušším případem Lagrangeovy věty je Rolleova věta, ze které již věta Lagrangeova snadno plyne:

Nechť funkce $f(x) \,$ je spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$, má derivaci v každém bodě intervalu $(a,b) \,$ a platí $f(a)=f(b) \,$. Pak existuje bod $c \in (a,b)$ takový, že $f^\prime(c)=0$.

Geometrický význam

Geometrické znázornění Rolleovy věty

Rolleova věta říká, že za uvedených předpokladů existuje v intervalu $(a,b) \,$ bod, v němž je tečna ke grafu funkce $f(x) \,$ rovnoběžná s osou x.

Fyzikální význam

Fyzikálně lze Rolleovu větu interpretovat takto:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“ tak, že na začátku i konci tohoto procesu má stejnou velikost, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny nulová.

Lagrangeova věta o střední hodnotě

Lagrangeovu větu lze vyslovit následovně:

Nechť funkce $f(x) \,$ je spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$ a má v každém bodě intervalu $(a,b) \,$ derivaci. Pak existuje bod $c \in (a,b)$ takový, že platí $f^\prime(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Protože je derivace $f'(x)$ v bodě směrnice tečny, můžeme tvrdit že pro $f(x)$ platí:

• $f'(c) \ge 0 \Rightarrow f(x)$ je v tomto bodě rostoucí
• $f'(c) \le 0 \Rightarrow f(x)$ je v tomto bodě klesající

Geometrický význam

Geometrický význam Lagrangeovy věty

Lagrangeova věta tvrdí, že za uvedených předpokladů v intervalu $(a,b) \,$ existuje bod $c \,$, v němž je tečna k funkci $f(x) \,$ rovnoběžná s přímkou vedenou body $(a,f(a)) \,$ a $(b,f(b)) \,$.

Fyzikální význam

Lagrangeovu větu lze fyzikálně interpretovat následovně:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny rovna průměrné rychlosti.

Zobecnění

Zobecněním Lagrangeovy věty je Cauchyova věta o střední hodnotě:

Nechť funkce $f(x), g(x) \,$ jsou spojité na intervalu $\langle a,b\rangle$, mají v každém bodě $x \,$ intervalu $(a,b) \,$ vlastní derivaci a nechť pro všechna $x \in (a,b)$ platí $g^\prime(x) \neq 0$. Pak existuje bod $c \in (a,b)$ takový, že platí $\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$.

Důkaz

Dokážeme Cauchyovu větu o střední hodnotě, Lagrangeova věta pak plyne z Cauchyovy věty volbou $g(x)=x \,$. Protože $g^\prime(x)\neq 0$ pro všechna $x \in (a,b)$, je podle obměněné implikace Rolleovy věty (důkaz) nutně $g(a) \neq g(b)$ (ostatní předpoklady Rolleovy věty jsou splněny díky předpokladům Cauchyovy věty). Můžeme tak definovat funkci

$F(x)=-f(x)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$.

Funkce $F \,$ je zřejmě spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$, má derivaci na intervalu $(a,b) \,$ a $F(a)=F(b)=-f(a) \,$. $F \,$ splňuje předpoklady Rolleovy věty a existuje tedy $c \in (a,b)$ takové, že

$0=F^\prime(c)=-f^\prime(c)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g^\prime(c)$

Dle předpokladu je $g^\prime(c) \neq 0$ a tedy

$\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$.

Související články

• Věta o střední hodnotě integrálního počtu