Transcendentní číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Transcendentní číslo je takové komplexní číslo, které není kořenem žádné algebraické rovnice s racionálními koeficienty. Netranscedentálním komplexním číslům proto říkáme algebraická čísla.

Lze dokázat (i když to není jednoduché), že čísla π nebo e jsou transcendentní čísla. Takových čísel je dokonce nespočetně mnoho. Na tom je také založen Cantorův nekonstruktivní důkaz existence transcendentních čísel (viz níže).

Důkazy[editovat | editovat zdroj]

Liouvillův důkaz[editovat | editovat zdroj]

Důkaz existence těchto čísel přinesl v roce 1840 francouzský matematik Joseph Liouville, když zkoumal rozložení kořenů algebraických rovnic na reálné přímce.

Poté, co se neúspěšně pokoušel dokázat, že Eulerovo číslo je transcendentní, se mu také podařilo zkonstruovat nekonečnou řadu těchto čísel pomocí zlomků. Mimo jiné zkonstruoval také tzv. Liouvilleovo číslo

0.1100010000000000000000010000...

kde 1 je na n!-tém místě a 0 na ostatních místech.

Cantorův nekonstruktivní důkaz[editovat | editovat zdroj]

Zajímavý je také důkaz, který roku 1873 podal Georg Cantor. Díky práci Richarda Dedekinda věděl již Cantor, že všech algebraických čísel je pouze spočetně mnoho. Když tedy ukázal, že všech reálných čísel spočetně mnoho není, prokázal tím zároveň, že obory algebraických a reálných čísel nemohou být totožné, tedy transcendentní čísla existují. Cantor dokázal dokonce více: transcendentních čísel je nespočetně mnoho, tedy více než čísel algebraických, a to aniž by jeho důkaz obsahoval jakýkoli náznak konstrukce byť jen jediného transcendentního čísla. Jeho důkaz tedy spadá do kategorie nekonstruktivních důkazů.

Význam[editovat | editovat zdroj]

Důkaz, že číslo π je transcendentní, např. s konečnou platností dokazuje nemožnost kvadratury kruhu.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]