Sylowovy věty

Sylowovy věty je souhrnný název pro několik matematických vět z oblasti teorie grup. Jsou částečným obrácením Lagrangeovy věty – zaručují pro prvočíselné dělitele $p$ řádu grupy $G$ existenci podgrup složených z prvků řádu $p$ a dávají dodatečnou informaci o jejich počtu a vlastnostech. Pojmenovány byly po norském matematikovi Ludwigu Sylowovi.

Sylowova p-podgrupa

Sylowovou $p$-podgrupou grupy $G$, kde $p$ je prvočíslo, nazýváme každou její podgrupu, která je maximální p-grupou (tj. takovou $H$ ≤ $G$, že každý prvek $H$ má řád mocniny $p$ a $H$ je maximální s touto vlastností). Množina všech Sylowových $p$-podgrup grupy $G$ se značí $Syl_p(G)$.

Znění vět

Znění i počet Sylowových vět se u různých autorů liší. Jako celek však Sylowovy věty dávají vždy tutéž informaci.

První Sylowova věta

Nechť $G$ je konečná grupa a $p$ prvočíslo dělící její řád. Pak všechny Sylowovy $p$-podgrupy $G$ jsou konjugovány (pro $P, Q$ ∈ $Syl_p(G)$ existuje $g$ ∈ $G$, že $P=gQg^{-1}$) a jejich počet je $kp+1$ pro nějaké $0$ ≤ $k$ (tj. $|Syl_p(G)|$ ≡ $1$ $(mod$ $p)$).

Důsledky

• Všechny Sylowovy $p$-podgrupy $G$ jsou izomorfní.
• Konečná grupa $G$ obsahuje prvek řádu $p$ pro každé prvočíslo $p$, které dělí řád $G$.
• Konečná grupa je p-grupou, právě když je řádu mocniny $p$.

Druhá Sylowova věta

Nechť $G$ je konečná grupa řádu $n=p^as$,kde $p$ je prvočíslo, které nedělí $s$ a $a>0$. Pak všechny Sylowovy $p$-podgrupy $G$ mají řád $p^a$.

Třetí Sylowova věta

Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo takové, že $p^{k+1}$ dělí řád $G$. Nechť dále $H$ je podgrupa $G$ ($H$ ≤ $G$) řádu $p^k$. Pak existjuje grupa $K$ řádu $p^{k+1}$ splňující $H\triangleleft K\leq G$ (tj. $H$ je normální v $K$).

Odkazy

Související články

• Lagrangeova věta

Literatura

• DRÁPAL, Aleš. Teorie grup – základní aspekty. Praha : Karolinum, 2000. ISBN 80-246-0162-1.