Rutherfordův experiment

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Nahoře: Výsledek očekávaný na základě Thomsonova modelu.
Dole: Pozorované výsledky byly vysvětleny Rutherfordovým modelem.

Rutherfordův experiment byl experiment provedený v roce 1911 na univerzitě v Manchesteru. Experiment provedli Hans Geiger a Ernest Marsden pod vedením Ernesta Rutherforda.

Tento experiment vedl k zamítnutí Thomsonova modelu atomu a jeho nahrazení modelem planetárním.

[editovat] Popis experimentu

Při experimentu byly různé kovy bombardovány alfa částicemi, přičemž se měřila odchylka směru pohybu alfa částic po srážce vzhledem ke směru před srážkou.

Na základě Thomsonova modelu byly očekávány velmi malé odchylky (v řádu několika stupňů). Při experimentu však byly pozorovány také značné odchylky (více než pravý úhel) - byly dokonce zjištěny částice, které se po srážce pohybovaly v opačném směru.

Tato pozorování vedla Rutherforda k závěru, že atom obsahuje velmi malý (ve srovnání s velikostí atomu) kladný elektrický náboj, který má však značnou hmotnost (vzhledem k celkové hmotnosti atomu). Tyto závěry vedly k vytvoření Rutherfordova (planetárního) modelu atomu.

[editovat] Rozptyl částic v Thomsonově modelu

Rozptyl alfa částic v Thomsonově modelu.

Uvažujme částici α dopadající na atom, jehož struktura je popsána Thomsonovým modelem.

Částice α bude při svém pohybu odpuzována od kladně nabité hmoty, z níž je atom složen, nebo se při svém pohybu může střetnout s některým z elektronů, které se v atomu nachází.

O kladně nabité hmotě atomu předpokládejme, že tvoří kouli o poloměru $R$ a celkovém elektrickém náboji $Q$ . Intenzitu elektrického pole vně atomu lze vyjádřit jako

$E_o = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$ ,

kde $r > R$ je vzdálenost od středu atomu. Uvnitř atomu, tedy v oblasti kladně nabité hmoty, má intenzita elektrického pole velikost

$E_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qr}{R^3}$

Podle těchto vztahů je intenzita elektrického pole největší na povrchu atomu, tzn. pro $r = R$ . Pokud bude tedy α částice směřovat právě k povrchu atomu, bude na ni elektrické pole atomu působit nejvíce, což způsobí, že v takovém případě se α částice na své dráze odchýlí ze svého směru nejvíce. Síla působící na povrchu atomu na α částici je

$F = \frac{2eQ}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$

Elektrická síla působící na pohybující se α částici klesá velmi rychle se vzdáleností, což umožňuje uvažovat působení pouze v malé oblasti kolem atomu. Předpokládejme, že délka dráhy $L$ , na které na α částici nabitá hmota atomu působí, je přibližně úměrná průměru atomu, tzn. $L\approx 2R$ . Je-li rychlost α částice $v$ , pak na ni atom působí po dobu $\Delta t=\frac{L}{v}\approx \frac{2R}{v}$ . Částice α tedy získá impuls, který odpovídá změně hybnosti o velikosti

$\Delta p = F\Delta t \approx \frac{4eQ}{4\pi\varepsilon_0Rv}$

Uvedená síla působí kolmo ke směru pohybu α částice, tzn. odchyluje ji z jejího původního směru. Na základě změny vektoru hybnosti před interakcí obou částic a po ní lze určit úhel $θ$ , o který bude částice α vychýlena. Pro malé výchylky lze položit $\theta\approx \frac{\Delta p}{p}$ , kde $p$ je celková hybnost α částice. Pro úhel odchýlení pak dostáváme

$\theta < \frac{\Delta p}{p} = \frac{4eQ}{4\pi\varepsilon_0 RMv^2}$ ,

kde $M = 6,6\cdot 10^{-27}\,\mbox{kg}$ je hmotnost α částice.

Odchylka α částice způsobená kladně nabitou hmotou je velmi malá. Např. při rozptylu α částic na atomech zlata ( $Q=79e = 1,26\cdot 10^{-17}\,\mbox{C}$ a $R\approx 10^{-10}\,\mbox{m}$ ) dostaneme při odhadované rychlosti α částic $v\approx 2\cdot 10^7\,\mbox{ms}^{-1}$ , hodnotu $\theta <0,02^\circ$ .

Částice α se na svém pohybu může také srazit s elektronem, který se nachází v atomu. Předpokládejme, že se jedná o čelní srážku dvou dokonale pružných koulí. Je-li rychlost elektronu před srážkou nulová a uvážíme-li, že hmotnost α částice $M$ je výrazně větší než hmotnost elektronu $m$ , předá částice α elektronu při čelní srážce hybnost

Δ p = 2 m v

Při čelní srážce však nedochází k odchýlení α částice. Při čelní srážce je změna hybnosti $Δ p$ maximální. Můžeme tedy tuto hodnotu využít i v případě, kdy budeme předpokládat, že se elektron po srážce pohybuje kolmo k původnímu směru pohybu α částice. Pro úhel $θ$ pak lze psát

$\theta \approx \frac{\Delta p}{p} < \frac{2mv}{Mv}$

Poněvadž $M\approx 7000m$ , dostáváme při odchýlení α částice na elektronech $\theta <0,02^\circ$ .

Odchylky α částice na elektronech i kladně nabité hmotě Thomsonova atomu jsou tedy velmi malé. Při reálných experimentech však nedochází k rozptylu pouze na jednom atomu, ale na poměrně velkém množství atomů. V takovém případě se jedná o řadu náhodných odchylek, přičemž pro celkovou střední odchylku $\overline{\Theta}$ platí

$\overline{\Theta} = N\overline{\theta}$ ,

kde $N$ je počet rozptylů (srážek) a $\overline{\theta}$ představuje střední hodnotu jednoho rozptylu.

Máme-li tedy kovovou fólii, která má sílu přibližně $N = 104$ atomových vrstev a průměrná hodnoty odchylky při jednom rozptylu je $\overline{\theta} = 0,01^\circ$ , dostaneme $\overline{\Theta}\approx 1^\circ$ . Tato střední hodnota byla skutečně v příslušných experimentech pozorována. Bylo však také pozorováno určité množství α částic, které se odchylovaly o úhly mnohem větší.

Pravděpodobnost nalezení celkové odchylky větší než určitý úhel $Θ$ je při střední odchylce $\overline{\Theta}$ dána vztahem

$P(\ge\Theta) = \mathrm{e}^{-{\left(\frac{\Theta}{\overline{\Theta}}\right)}^2}$

Pravděpodobnost nalezení částice α odchýlené o úhel 90° a více je tedy pro Thomsonův model atomu rovna

$P(\ge 90^\circ) = \mathrm{e}^{-{\left(\frac{90^\circ}{1^\circ}\right)}^2} = e^{-8100} = 10^{-3500}$

Tedy podle teorie by měla být přibližně jedna z $103500$ částic α odchýlena o úhel 90° a více. V experimentech se však o úhel 90° a více odchylovala přibližně jedna částice α z 8000.

[editovat] Rozptyl částic v Rutherfordově modelu

Rozptyl alfa částic v Rutherfordově modelu.

Z rozboru Thomsonova modelu atomu vyplynulo, že rozptyl α částic na elektronech nemůže objasnit velké množství těchto částic odchýlených o velké úhly. Lze tedy předpokládat, že ani v planetárním modelu nebude mít srážka α částice s lehkým elektronem podstatný vliv na počet částic vychylujících se o velké úhly. Planetární model však obsahuje atomové jádro, jehož hmotnost výrazně převyšuje celkovou hmotnost všech elektronů celého atomu.

Při studiu srážky α částice s atomovým jádrem Rutherford předpokládal, že α částice i jádro jsou tak malé, že je lze považovat za hmotné body (a také bodové náboje), že mezi nimi působí pouze elektrostatické síly, které vzhledem ke kladným nábojům obou částic způsobují jejich vzájemné odpuzování, a dále předpokládal, že hmotnost jádra je výrazně větší než hmotnost α částice, takže se při interakci nepohybuje.

Trajektorie pohybu částice α v elektrostatickém poli atomového jádra má tvar hyperboly. Pokud by částice α nebyla nabitá, pohybovala by se po přímce, jejíž nejmenší vzdálenost od atomového jádra se označuje jako záměrná vzdálenost (srážkový parametr) $b$ . Úhel mezi asymptotami dráhy přilétající a odlétající částice je úhel rozptylu $θ$ .

Při interakci zůstává podle předpokladu atomové jádro nehybné, tzn. jeho hybnost se nezmění. Částice α změní směr svého pohybu, což znamená, že se změní také její hybnost, avšak částici α nebyla jádrem dodána (ani odebrána) žádná energie, tzn. velikost hybnosti částice α se nezmění. Změnu hybnosti v závislosti na změně směru pohybu lze vyjádřit vztahem

$\Delta p = 2mv\sin\frac{\theta}{2}$ ,

kde $m$ je hmotnost α částice a $v$ je její rychlost. Působící impuls síly má stejný směr jako změna hybnosti $Δ p$ . Pro jeho velikost platí

$\int F\cos\varphi \,\mathrm{d}t$ ,

kde $\varphi$ představuje okamžitý úhel mezi $F$ a $Δ p$ . Dosazením do výrazu pro impuls síly dostaneme

$2mv\sin\frac{\theta}{2} = \int_0^\infty F\cos\varphi \mathrm{d}t = \int_{-\frac{1}{2}(\pi-\theta)}^{+\frac{1}{2}(\pi-\theta)} F\cos\varphi\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\varphi}\mathrm{d}\varphi$ ,

kde $\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = \omega$ je úhlová rychlost pohybu α částice kolem atomového jádra.

Elektrostatická síla působící na α částici působí pouze podél spojnice s jádrem, tzn. na α částici nepůsobí žádný silový moment, což znamená, že její moment hybnosti $b$ je konstantní, tedy

$m\omega r^2 = \mbox{konst}\cdot mr^2\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = mvb$

Velikost elektrostatické síly lze určit z Coulombova zákona, kde pro náboj částice α vezmeme $2 e$ a náboj jádra s atomovým číslem $Z$ má hodnotu $Z e$ . Z předchozích vztahů pak dostaneme

$\frac{4\pi\varepsilon_0mv^2b}{Ze^2\sin\frac{\theta}{2}} = \int_{-\frac{1}{2}(\pi-\theta)}^{+\frac{1}{2}(\pi-\theta)} \cos\varphi\mathrm{d}\varphi = 2\cos\frac{\theta}{2}$

Tento vztah lze přepsat ve tvaru

$\operatorname{cotg}\frac{\theta}{2} = \frac{2\pi\varepsilon_0mv^2b}{Ze^2} = \frac{4\pi\varepsilon_0E_k}{Ze^2}b$ ,

kde $E k$ je kinetická energie α částice. Z tohoto vztahu je vidět, že s rostoucí záměrnou vzdáleností $b$ klesá úhel rozptylu $θ$ . Vyplývá z něj také, že v případě čelní srážky, tzn. $b = 0$ , se částice odrazí proti směru původního pohybu, tzn. $\theta =180^\circ$ .

Z uvedeného vztahu je také vidět, že všechny α částice, jejichž záměrná vzdálenost je menší než určitá hodnota $b$ budou odchýleny o úhel větší než $θ$ . Můžeme také říci, že částice, které směřují do plochy, která je vymezena záměrnou vzdáleností $b$ , budou odchýleny alespoň o úhel $θ$ . Velikost této plochy, kterou označujeme jako totální účinný průřez interakce, je $π b 2$ . Pro účinný průřez tedy platí

σ = π b 2

Účinný průřez nepředstavuje plochu, kterou částice musí projít, ale pouze plochu, do níž částice původně směřovala.

Dopadá-li svazek α částic na fólii o ploše $S$ a tloušťce $t$ , která obsahuje v jednotce objemu $n$ atomů, bude se tento svazek střetávat s $n S t$ atomovými jádry fólie. Celkový účinný průřez rozptylu o úhel nejméně $θ$ získáme vynásobením počtu atomových jader a účinného průřezu daného rozptylu pro jedno jádro. Poměr α částic rozptýlených o úhel nejméně $θ$ k celkovému počtu dopadajících α částic je roven poměru celkového účinného průřezu k celkové ploše terče (tedy plochy fólie, na niž svazek dopadá). Pro tento poměr tedy platí

$f = \frac{nSt\sigma}{S} = nt\pi b^2$

Dosazením do tohoto vztahu dostaneme

$f = \pi nt{\left(\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0E_k}\right)}^2 \operatorname{cotg}^2\frac{\theta}{2}$

V reálném experimentu měříme pouze počet částic rozptýlených do intervalu úhlů od $θ$ do $θ + dθ$ . Tuto část získáme diferencováním předchozího vztahu, tzn.

$\mathrm{d}f = -\pi nt{\left(\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0E_k}\right)}^2 \operatorname{cotg}\frac{\theta}{2}\sin^{-2}\frac{\theta}{2}\mathrm{d}\theta$

Plocha $d S$ , kterou na kulové ploše o poloměru $r$ vymezuje interval úhlů $θ$ a $θ + dθ$ má velikost

$\mathrm{d}S = (2\pi r\sin\theta)(r\mathrm{d}\theta) = 4\pi r^2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\mathrm{d}\theta$

Označme $N i$ počet α částic, které narazí do fólie. Počet α částic vychýlených do intervalu úhlů od $θ$ do $θ + dθ$ je $N i d f$ . V experimentech měřenou veličinou je počet částic $N (θ)$ vychýlených o určitý úhel $θ$ , který připadá na jednotkovou plochu, tzn.

$N(\theta) = \frac{N_i|\mathrm{d}f|}{\mathrm{d}S} = \frac{ N_i\pi nt{\left(\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0E_k}\right)}^2 \operatorname{cotg}\frac{\theta}{2}\sin^-2\frac{\theta}{2}\mathrm{d}\theta}{ 4\pi r^2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\mathrm{d}\theta} = \frac{N_intZ^2e^4}{{(8\pi\varepsilon_0)}^2 r^2E_k^2\sin^4\frac{\theta}{2}}$

Tento vztah představuje Rutherfordův vzorec pro rozptyl a jeho správnost byla experimentálně potvrzena. Představuje současně potvrzení správnosti hypotézy o existenci atomového jádra.

Počet částic rozptýlených do určitého intervalu úhlů můžeme také charakterizovat prostřednictvím diferenciálního účinného průřezu $dσ$ , pro nějž platí vztah

$\mathrm{d}\sigma = \frac{\mathrm{d}N}{N}$ ,

kde $N$ označuje počet dopadajících α částic a $d N$ představuje počat částic, které byly rozptýleny do intervalu úhlů od $θ$ do $θ + dθ$ . Z předchozích vztahů pak lze získat výraz

$\mathrm{d}\sigma = 2\pi b\mathrm{d}b = 2\pi b\left|\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta}\right| \mathrm{d}\theta = b\sin\theta\left|\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta}\right|\mathrm{d}\Omega$ ,