Riemannova funkce zeta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Riemannova funkce zeta, označovaná pomocí řeckého písmene ζ jako ζ(s), je důležitý pojem v analytické teorii čísel. Zavedl ji v roce 1859 německý matematik Bernhard Riemann. Tato funkce je ústředním pojmem tzv. Riemannovy hypotézy, která patří k nejdůležitějším nevyřešeným problémům současné matematiky.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Zeta funkce je definována jako součet nekonečné řady:

\zeta (s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \dots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

Tato řada konverguje pro všechna komplexní čísla, jejichž reálná část je větší než 1, a Riemann ukázal, jak lze tuto funkci rozšířit na množinu všech komplexních čísel různých od 1.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Je-li s ≤ 1, řada diverguje:

  • je-li s = -1, pak
\zeta(s) = 1 + 2 + 3 + \dots = \infty
  • je-li s = 1/2, pak
\zeta(s) = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots = \infty
  • je-li s = 0, pak
\zeta(s) = 1 + 1 + 1 + \dots = \infty
  • je-li s = 1, pak
\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots = \infty, což je tzv. harmonická řada

Je-li s > 1, řada absolutně konverguje:

  • je-li s = 2, pak
\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645

Zeta funkce je pro s > 1 rovna tzv. Eulerovu součinu:

\zeta(s) = \prod_{p \in P} \frac{1}{1-p^{-s}}, kde P je množina všech prvočísel.

Tento součin se poprvé objevil, i když v trochu jiném tvaru, v článku s názvem Variae observationes circa series infinitas („Různé poznámky o nekonečných řadách“) napsaném Leonhardem Eulerem [1].
Důkaz této rovnosti je vlastně postup, jakým Euler k této souvislosti došel a je následující:
Funkce zeta na levé straně je pro připomenutí ve tvaru

\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\dots

Nyní vynásobíme obě strany rovnosti číslem 1/2^s a dostaneme

\frac{1}{2^{s}}\zeta(s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\dots

Tento výraz odečteme od předchozího, což nám dá

(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\dots

Odečtení vyloučilo všechny členy se sudým jmenovatelem a zůstaly nám jen členy s lichým jmenovatelem. Pokračujeme tak, že obě strany vynásobíme číslem 1/3^s:

\frac{1}{3^{s}}(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\frac{1}{27^{s}}+\dots

Nyní odečteme tento výraz od předchozího:

(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\dots

Z nekonečného součtu zmizely všechny násobky tří. Dále vynásobíme obě strany číslem 1/5^s:

\frac{1}{5^{s}}(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\frac{1}{35^{s}}+\frac{1}{55^{s}}+\frac{1}{65^{s}}+\dots

Odečtením dostaneme

(1-\frac{1}{5^{s}})(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\dots

Je vidět, že při odčítání pravých stran vynecháváme samotné prvočíslo spolu s jeho násobky. Kdybychom v tomto postupu pokračovali až do nekonečna, je zřejmé, že dojdeme k rovnosti

\dots (1-\frac{1}{11^{s}})(1-\frac{1}{7^{s}})(1-\frac{1}{5^{s}})(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1

Vydělením obou stran této rovnice postupně všemi výrazy v závorkách dostaneme výsledný vzorec , který jsme chtěli dokázat

\zeta(s)=\frac{1}{1-\frac{1}{2^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{3^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{5^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{7^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{11^{s}}}\dots=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1}

Jak součet na levé straně, tak i součin na pravé pokračují do nekonečna. To ve skutečnosti poskytuje důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho. Kdyby jich totiž byl konečný počet, pak by i součin na pravé straně měl konečný počet členů a pro každé číslo s by měl určitou konečnou hodnotu. Když s = 1, pak na levé straně dostaneme harmonickou řadu, která diverguje. A protože nekonečno na levé straně rovnice se nemůže rovnat konečnému číslu napravo, musí být prvočísel nekonečně mnoho.

Rozšíření definičního oboru[editovat | editovat zdroj]

Nekonečná řada může definovat funkci jen na části jejího definičního oboru a právě tohle platí i pro funkci zeta. Funkce zeta má totiž konečné hodnoty pro všechny argumenty s ≠ 1.
Nyní se podívejme na základní myšlenku, jak zjistit hodnoty funkce \zeta (s) pro s < 1. Nejdříve zavedeme novou funkci

\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{s}}=1-\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}-\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}-\dots

Tato nekonečná řada se nazývá alternující řada a konverguje pro s > 0.
Řadu \eta(s) můžeme zapsat jako

\Big(1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\dots\Big)

minus

2\Big(\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\dots\Big),

kde první závorka je vlastně \zeta(s). Vytknutím 1/2^{s} z druhého výrazu a úpravou dostaneme

\eta(s)=\zeta(s)-2\frac{1}{2^{s}}\zeta(s)=\zeta(s)\Big(1-2\frac{1}{2^{s}}\Big).

Vyjádřením \zeta(s) dojdeme ke vztahu

\zeta(s)=\frac{\eta(s)}{1-\frac{1}{2^{s-1}}}

ze kterého dokážeme vypočítat hodnoty \zeta(s) pro s mezi 0 a 1. V 0 je hodnota funkce zeta rovna -1/2.

Nyní se podívejme, jak je to s argumenty funkce zeta, které jsou menší než 0. V Riemannově článku z roku 1859 je důkaz formule, kterou poprvé navrhl Euler v roce 1749 a která vyjadřuje \zeta(1-s) pomocí \zeta(s):

\zeta(1-s)=2^{1-s}\pi^{-s}\sin\Big(\frac{1-s}{2}\pi\Big)(s-1)!\zeta(s).

Tímto vztahem vypočítáme hodnoty funkce zeta pro záporná celá čísla s.
Abychom však mohli spočítat hodnoty funkce zeta pro všechna reálná s < 0 musíme použít následující vzorec

\pi^{-s/2}\Gamma\Big(\frac{s}{2}\Big)\zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\Gamma\Big(\frac{1-s}{2}\Big)\zeta(1-s),

který dokázal Riemann v roce 1859. Velké písmeno řecké abecedy \Gamma v této rovnici je funkce gamma, která je rozšířením faktoriálu do reálných a komplexních čísel.

Nulové body[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článcích Riemannova hypotéza a Věta o kritické přímce.

Nulové body Riemannovy funkce zeta jsou taková komplexní čísla s, pro která \zeta (s) = 0. Lze je rozdělit na

  • triviální – všechna sudá záporná celá čísla
  • netriviální – ostatní, leží v tzv. kritickém pásu, což je množina komplexních čísel, jejichž reálná část leží v otevřeném intervalu (0, 1).

Podle Riemannovy hypotézy leží všechny netriviální nuly na tzv. kritické přímce, což je přímka tvořená komplexními čísly s reálnou částí rovnou 1/2.

Netriviální nulové body velice úzce souvisí s rozložením prvočísel mezi přirozenými čísly.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. SANDIFER, C. E.. The Early Mathematics of Leonhard Euler. [s.l.] : The Mathematical Association of America, 2007.  

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • DERBYSHIRE, John. Posedlost prvočísly. Praha : Academia, 2007.  
  • DEVLIN, Keith. Problémy pro třetí tisíciletí. Praha : Argo, Dokořán, 2005.