Riemannova funkce zeta

Riemannova funkce zeta, označovaná pomocí řeckého písmene ζ jako ζ(s), je důležitý pojem v analytické teorii čísel. Zavedl ji v roce 1859 německý matematik Bernhard Riemann. Tato funkce je ústředním pojmem tzv. Riemannovy hypotézy, která patří k nejdůležitějším nevyřešeným problémům současné matematiky.

Definice

Zeta funkce je definována jako součet nekonečné řady:

$\zeta (s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \dots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$

Tato řada konverguje pro všechna komplexní čísla, jejichž reálná část je větší než 1, a Riemann ukázal, jak lze tuto funkci rozšířit na množinu všech komplexních čísel různých od 1.

Vlastnosti

Je-li s ≤ 1, řada diverguje:

• je-li s = -1, pak

$\zeta(s) = 1 + 2 + 3 + \dots = \infty$

• je-li s = 1/2, pak

$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots = \infty$

• je-li s = 0, pak

$\zeta(s) = 1 + 1 + 1 + \dots = \infty$

• je-li s = 1, pak

$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots = \infty$, což je tzv. harmonická řada

Je-li s > 1, řada absolutně konverguje:

• je-li s = 2, pak

$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$

Zeta funkce je pro $s > 1$ rovna tzv. Eulerovu součinu:

$\zeta(s) = \prod_{p \in P} \frac{1}{1-p^{-s}}$, kde P je množina všech prvočísel.

Tento součin se poprvé objevil, i když v trochu jiném tvaru, v článku s názvem Variae observationes circa series infinitas („Různé poznámky o nekonečných řadách“) napsaném Leonhardem Eulerem .
Důkaz této rovnosti je vlastně postup, jakým Euler k této souvislosti došel a je následující:
Funkce zeta na levé straně je pro připomenutí ve tvaru

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\dots$

Nyní vynásobíme obě strany rovnosti číslem $1/2^s$ a dostaneme

$\frac{1}{2^{s}}\zeta(s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\dots$

Tento výraz odečteme od předchozího, což nám dá

$(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\dots$

Odečtení vyloučilo všechny členy se sudým jmenovatelem a zůstaly nám jen členy s lichým jmenovatelem. Pokračujeme tak, že obě strany vynásobíme číslem $1/3^s$:

$\frac{1}{3^{s}}(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\frac{1}{27^{s}}+\dots$

Nyní odečteme tento výraz od předchozího:

$(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\dots$

Z nekonečného součtu zmizely všechny násobky tří. Dále vynásobíme obě strany číslem $1/5^s$:

$\frac{1}{5^{s}}(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\frac{1}{35^{s}}+\frac{1}{55^{s}}+\frac{1}{65^{s}}+\dots$

Odečtením dostaneme

$(1-\frac{1}{5^{s}})(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\dots$

Je vidět, že při odčítání pravých stran vynecháváme samotné prvočíslo spolu s jeho násobky. Kdybychom v tomto postupu pokračovali až do nekonečna, je zřejmé, že dojdeme k rovnosti

$\dots (1-\frac{1}{11^{s}})(1-\frac{1}{7^{s}})(1-\frac{1}{5^{s}})(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1$

Vydělením obou stran této rovnice postupně všemi výrazy v závorkách dostaneme výsledný vzorec , který jsme chtěli dokázat

$\zeta(s)=\frac{1}{1-\frac{1}{2^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{3^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{5^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{7^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{11^{s}}}\dots=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1}$

Jak součet na levé straně, tak i součin na pravé pokračují do nekonečna. To ve skutečnosti poskytuje důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho. Kdyby jich totiž byl konečný počet, pak by i součin na pravé straně měl konečný počet členů a pro každé číslo s by měl určitou konečnou hodnotu. Když s = 1, pak na levé straně dostaneme harmonickou řadu, která diverguje. A protože nekonečno na levé straně rovnice se nemůže rovnat konečnému číslu napravo, musí být prvočísel nekonečně mnoho.

Rozšíření definičního oboru

Nekonečná řada může definovat funkci jen na části jejího definičního oboru a právě tohle platí i pro funkci zeta. Funkce zeta má totiž konečné hodnoty pro všechny argumenty s ≠ 1.
Nyní se podívejme na základní myšlenku, jak zjistit hodnoty funkce $\zeta (s)$ pro s < 1. Nejdříve zavedeme novou funkci

$\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{s}}=1-\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}-\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}-\dots$

Tato nekonečná řada se nazývá alternující řada a konverguje pro s > 0.
Řadu $\eta(s)$ můžeme zapsat jako

$\Big(1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\dots\Big)$

minus

$2\Big(\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\dots\Big),$

kde první závorka je vlastně $\zeta(s)$. Vytknutím $1/2^{s}$ z druhého výrazu a úpravou dostaneme

$\eta(s)=\zeta(s)-2\frac{1}{2^{s}}\zeta(s)=\zeta(s)\Big(1-2\frac{1}{2^{s}}\Big).$

Vyjádřením $\zeta(s)$ dojdeme ke vztahu

$\zeta(s)=\frac{\eta(s)}{1-\frac{1}{2^{s-1}}}$

ze kterého dokážeme vypočítat hodnoty $\zeta(s)$ pro s mezi 0 a 1. V 0 je hodnota funkce zeta rovna -1/2.

Nyní se podívejme, jak je to s argumenty funkce zeta, které jsou menší než 0. V Riemannově článku z roku 1859 je důkaz formule, kterou poprvé navrhl Euler v roce 1749 a která vyjadřuje $\zeta(1-s)$ pomocí $\zeta(s)$:

$\zeta(1-s)=2^{1-s}\pi^{-s}\sin\Big(\frac{1-s}{2}\pi\Big)(s-1)!\zeta(s).$

Tímto vztahem vypočítáme hodnoty funkce zeta pro záporná celá čísla s.
Abychom však mohli spočítat hodnoty funkce zeta pro všechna reálná s < 0 musíme použít následující vzorec

$\pi^{-s/2}\Gamma\Big(\frac{s}{2}\Big)\zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\Gamma\Big(\frac{1-s}{2}\Big)\zeta(1-s),$

který dokázal Riemann v roce 1859. Velké písmeno řecké abecedy $\Gamma$ v této rovnici je funkce gamma, která je rozšířením faktoriálu do reálných a komplexních čísel.

Nulové body

Související informace naleznete v článcích Riemannova hypotéza a Věta o kritické přímce.

Nulové body Riemannovy funkce zeta jsou taková komplexní čísla s, pro která $\zeta (s) = 0$. Lze je rozdělit na

• triviální – všechna sudá záporná celá čísla
• netriviální – ostatní, leží v tzv. kritickém pásu, což je množina komplexních čísel, jejichž reálná část leží v otevřeném intervalu (0, 1).

Podle Riemannovy hypotézy leží všechny netriviální nuly na tzv. kritické přímce, což je přímka tvořená komplexními čísly s reálnou částí rovnou 1/2.

Netriviální nulové body velice úzce souvisí s rozložením prvočísel mezi přirozenými čísly.

Literatura

• DERBYSHIRE, John. Posedlost prvočísly. Praha : Academia, 2007.  
• DEVLIN, Keith. Problémy pro třetí tisíciletí. Praha : Argo, Dokořán, 2005.