Riemannova funkce zeta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Riemannova funkce zeta, označovaná pomocí řeckého písmene ζ jako ζ(s), je důležitým pojmem v analytické teorii čísel. Zavedl ji v roce 1859 německý matematik Bernhard Riemann. Tato funkce je ústředním pojmem tzv. Riemannovy hypotézy, která patří k nejdůležitějším nevyřešeným problémům současné matematiky.

[editovat] Definice

Zeta funkce je definována jako součet nekonečné řady:

\zeta (s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

Tato řada konverguje pro všechna komplexní čísla, jejichž reálná část je větší než 1, a Riemann ukázal, jak lze tuto funkci rozšířit na množinu všech komplexních čísel různých od 1.

[editovat] Vlastnosti

  • je-li s = 1, pak
\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty, což je tzv. harmonická řada
  • je-li s = 2, pak
\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645
  • zeta funkce je pro s > 1 rovna tzv. Eulerovu součinu:
\zeta(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s} = \prod_{p \in P} \frac{1}{1-p^{-s}}, kde P je množina všech prvočísel

[editovat] Nulové body

Podrobnější informace naleznete v článcích Riemannova hypotéza a Věta o kritické přímce.

Nulové body Riemannovy funkce zeta jsou taková komplexní čísla s, pro která ζ(s) = 0. Lze je rozdělit na

  • triviální – všechna sudá záporná celá čísla
  • netriviální – ostatní, leží v tzv. kritickém pásu, což je množina komplexních čísel, jejichž reálná část leží v otevřeném intervalu (0, 1).

Podle Riemannovy hypotézy leží všechny netriviální nuly na tzv. kritické přímce, což je přímka tvořená komplexními čísly s reálnou částí rovnou 1/2.

Netriviální nulové body velice úzce souvisí s rozložením prvočísel mezi přirozenými čísly.


Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Riemannova_funkce_zeta“