Prekompaktní množina

Prekompaktní množina, nebo též totálně omezená množina, je taková množina bodů metrického prostoru, která jde vždy pokrýt konečným počtem stejných koulí o libovolně malém poloměru.

Definice

Množina $M$ v metrickém prostoru se nazývá prekompaktní, jestliže ke každému $\epsilon >0$ existuje v $M$ konečná množina bodů $x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ s vlastností $M\subset \bigcup _{i=1}^{n}U(x_{i},\epsilon )$, kde $U(x_{i},\epsilon )$ jsou $\epsilon$-okolí $x_{i}$ (koule se středem $x_{i}$ a poloměrem $\epsilon$).

Vlastnosti

Množina $M$ je prekompaktní právě tehdy, když z každé posloupnosti prvků $M$ lze vybrat cauchyovskou posloupnost.

Prekompaktní množina je omezená. Kompaktní množiny jsou ty, které jsou prekompaktní a úplné.

Na úplných metrických prostorech prekompaktní množiny a relativně kompaktní množiny splývají.

Související články

• Kompaktní zobrazení

Portály: Matematika