Jacobiho determinant

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jacobiho determinant (také jacobián) je determinant Jacobiho matice. Je pojmenován podle slavného matematika Carla Gustava Jacoba Jacobiho. Tento determinant je rozsáhle využíván ve výpočtech vícerozměrných integrálů.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť \vec{f} :R^n\rightarrow R^n je diferencovatelná v bodě \vec{x} \in R^n . Jacobiánem funkčního vektoru \vec{f} v bodě \vec{x} pak nazveme determinant

J_\vec{f} (\vec{x})= det \begin{pmatrix}\frac{\part f_1}{\part x_1} & \frac{\part f1}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_1}{\part x_n}
\\ \frac{\part f_2}{\part x_1} & \frac{\part f_2}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_2}{\part x_n}
\\ \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots
\\ \frac{\part f_n}{\part x_1} & \frac{\part f_n}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_n}{\part x_n} \end{pmatrix} ( \vec{x} ).

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Pokusme se nyní vypočítat Jacobián polárních souřadnic. Ty jsou zavedené následujícími vztahy:

x=\varrho.cos\varphi

y=\varrho.sin\varphi, kde  \varrho \in R^+ a \varphi \in (0,2 \pi)

Platí tedy:

J_{(x,y)} (\varrho,\varphi)= \begin{vmatrix}\frac{\part x}{\part \varrho} & \frac{\part x}{\part \varphi}
\\ \frac{\part y}{\part \varrho} & \frac{\part y}{\part \varphi} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}cos\varphi & -\varrho.sin\varphi
\\ sin\varphi & \varrho.cos\varphi \end{vmatrix} = \varrho

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. ISBN 978-80-01-04315-8.