Jacobiho determinant

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jacobiho determinant, nebo také Jacobián je determinant Jacobiho matice. Jeho název je pojmenován podle slavného matematika Carla Gustava Jacoba Jacobiho. Tento determinant je rozsáhle využíván ve výpočtech vícerozměrných integrálů.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť \vec{f} :R^n\rightarrow R^n je diferencovatelná v bodě \vec{x} \in R^n . Jacobiánem funkčního vektoru \vec{f} v bodě \vec{x} pak nazveme determinant

J_\vec{f} (\vec{x})= det \begin{pmatrix}\frac{\part f_1}{\part x_1} & \frac{\part f1}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_1}{\part x_n}
\\ \frac{\part f_2}{\part x_1} & \frac{\part f_2}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_2}{\part x_n}
\\ \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots
\\ \frac{\part f_n}{\part x_1} & \frac{\part f_n}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_n}{\part x_n} \end{pmatrix} ( \vec{x} ).

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Pokusme se nyní vypočítat Jacobián polárních souřadnic. Ty jsou zavedené následujícími vztahy:

x=\varrho.cos\varphi

y=\varrho.sin\varphi, kde  \varrho \in R^+ a \varphi \in (0,2 \pi)

Platí tedy:

J_{(x,y)} (\varrho,\varphi)= \begin{vmatrix}\frac{\part x}{\part \varrho} & \frac{\part x}{\part \varphi}
\\ \frac{\part y}{\part \varrho} & \frac{\part y}{\part \varphi} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}cos\varphi & -\varrho.sin\varphi
\\ sin\varphi & \varrho.cos\varphi \end{vmatrix} = \varrho

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. ISBN 978-80-01-04315-8.