Heronův vzorec

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v euklidovské rovině), pomocí délek jeho stran.

Vzorec

Jsou-li $a,b,c$ délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah

$S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},$

kde $s={\frac {a+b+c}{2}}$ je poloviční obvod trojúhelníka.

Důkaz

Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro ostroúhlý trojúhelník na obrázku platí:

$\ x^{2}+v^{2}=c^{2}$

$\ (a-x)^{2}+v^{2}=b^{2}$

Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:

$\ a^{2}-2ax=b^{2}-c^{2}$

Z tohoto vztahu vyjádříme x:

$x={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}$

Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem, což nevadí. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:

$\ v^{2}=c^{2}-x^{2}$

$v^{2}=c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}$

$v^{2}=c^{2}-{\frac {\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}$

$v^{2}={\frac {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}$

$v={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2a}}$

Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku

$S={\frac {av}{2}},$

dostaneme

$S={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{4}}$

Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:

$S={\frac {\sqrt {\left(2ac+a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)\left(2ac-a^{2}-c^{2}+b^{2}\right)}}{4}}$

$S={\frac {\sqrt {\left[\left(a+c\right)^{2}-b^{2}\right]\left[b^{2}-\left(a-c\right)^{2}\right]}}{4}}$

$S={\frac {\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\left(b-a+c\right)}}{4}}$

Dosadíme poloviční obvod s,

$\ a+b+c=2s$

a dostáváme výsledný vzorec:

$S={\frac {\sqrt {2s\left(2s-2a\right)\left(2s-2b\right)\left(2s-2c\right)}}{4}}$

$S={\frac {\sqrt {16s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}{4}}$

$S={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

Historie

Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v roce 60 př. n. l.

Poznámky

Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.

Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.

Obsah trojúhelníku je symetrická kvadraticky homogenní funkce jeho stran.

Související články

• Trojúhelník
• Obsah
• Tětivový čtyřúhelník

Externí odkazy

• důkaz Heronova vzorce

Poznámky

Portály: Matematika