Hadamardova nerovnost

Hadamardova nerovnost je označení pro matematickou nerovnost poprvé zveřejněnou Jacquesem Hadamardem v 1893 a vymezující maximální možnou hodnotu determinantu matice složené z komplexních vektorů. V případě reálných čísel ji je možné v nrozměrném eukleidovském prostoru interpretovat jako horní mez maximálního možného objemu rovnoběžnostěnu vymezeného n vektory $v_{i}$ vzhledem k jejich délkám $||v_{i}||$.

Hadamardova nerovnost říká, že pokud je V matice se sloupci $v_{i}$, pak

$|\det(V)|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|,$

a rovnosti je dosaženo pouze v těch případech, kdy jsou na sebe vektory kolmé a nebo je některý ze sloupců roven nulovému vektoru.

Důsledky

Jedním z důsledků je, že pokud jsou prvky čtvercové matice $V$ řádu $n$ menší nebo rovny mezi $B$, tedy $|V_{ij}|\leq B$ pro všechna $i,j$, pak

$|\det(V)|\leq B^{n}n^{n/2}.$

Jsou-li speciálně prvky matice rovny jen +1 a -1, pak

$|\det(V)|\leq n^{n/2}.$

Matice, pro které v tomto případě platí rovnost, se nazývají Hadamardovy matice.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hadamard's inequality na anglické Wikipedii.