Hadamardova matice

Hadamardova matice (podle Jacquesa Hadamarda) je čtvercová matice obsahující pouze hodnoty -1 a 1 a u které jsou navíc každé dva řádky navzájem ortogonální (neboli jimi dané vektory jsou kolmé).

Vlastnosti

Z kolmosti řádkových vektorů plyne kolmost sloupcových vektorů.

Rovnoběžnostěn určený řádkovými (respektive sloupcovými) vektory má maximální objem ze všech rovnoběžnostěnů určených vektory s velikostí souřadnic omezenou v absolutní hodnotě jednou. Tuto vlastnost lze vyjádřit také tak, že mezi takto omezenými maticemi jsou Hadamardovy matice právě ty s maximálním determinantem.

Přímo z definice je vidět, že pro každou Hadamardovu matici H řádu n platí:

$HH^T=nI_n$,

kde $I_n$ je jednotková matice řádu n a $H^T$ je transpozice matice $H$. Z pravidla o násobení determinantů pak plyne, že

$\det(H)=\pm n^{\frac{n}{2}}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hadamard matrix na anglické Wikipedii.