Burnsideův problém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Burnsideův problém je jeden z nejstarších a nejslavnějších problémů z teorie grup. V základní podobě byl formulován roku 1902 Williamem Burnsidem. Později byl zobecněn a ačkoli mnohé speciální případy tohoto problému již byly vyřešeny, v plné obecnosti zůstává i v současnosti (květen 2007) jedním z otevřených problémů.

Obecný Burnsideův problém[editovat | editovat zdroj]

Formulace[editovat | editovat zdroj]

Nechť G je grupa. Množina X\subseteq G se nazývá množinou generátorů G, lze-li každý prvek G vyjádřit jako konečný součin prvků z X a jejich inverzí (tj. prvků tvaru x^{-1} pro x\in X). Grupa se nazývá konečně generovaná, má-li konečnou množinu generátorů.

Grupa G se nazývá periodická (také torzní) pokud ke každému g\in G existuje n, že g^n=1.

Obecný Burnsideův problém lze formulovat následujícím způsobem:

Nechť G je konečně generovaná periodická grupa. Musí pak G být konečná?

Řešení[editovat | editovat zdroj]

Řešení obecného Burnsideova problému je negativní. V roce 1964 sestrojili Golod a Šafarevič příklad nekonečné periodické konečně generované grupy (jejich grupa byla dokonce p-grupou).

Burnsideův problém[editovat | editovat zdroj]

Formulace[editovat | editovat zdroj]

Burnsideův problém je upřesněním obecného Burnsideova problému. Zní následovně:

Nechť je dáno přirozené n a grupa G konečně generovaná a splňující g^n=1 pro všechny své prvky g. Musí pak G být konečná?

Částečná řešení[editovat | editovat zdroj]

Roku 1968 Adian a Novikov ukázali, že pro každé liché n > 4381 je odpověď negativní. Zajímavou třídou protipříkladů jsou takzvaná Tarského monstra pocházející z roku 1982. V plné obecnosti zůstává problém dodnes nevyřešen.

Omezený Burnsideův problém[editovat | editovat zdroj]

Formulace[editovat | editovat zdroj]

Omezený Burnsideův problém byl položen v roce 1930. Lze ho formulovat takto:

Existuje jen konečně mnoho (neizomorfních) konečných grup generovaných r prvky a splňujících g^n=1 pro všechna g\in G, kde r a n jsou daná přirozená čísla?

Řešení[editovat | editovat zdroj]

Kladnou odpověď na tento problém podal roku 1991 Zelmanov. Za toto řešení obdržel roku 1994 Fieldsovu medaili. Zelmanovovo řešení používá teorii Lieových algeber.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]