Burnsideův problém
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Burnsideův problém je jeden z nejstarších a nejslavnějších problémů z teorie grup. V základní podobě byl formulován roku 1902 Williamem Burnsidem. Později byl zobecněn a ačkoli mnohé speciální případy tohoto problému již byly vyřešeny, v plné obecnosti zůstává i v současnosti (květen 2007) jedním z otevřených problémů.
Obsah |
[editovat] Obecný Burnsideův problém
[editovat] Formulace
Nechť G je grupa. Množina 
se nazývá množinou generátorů G, lze-li každý prvek G vyjádřit jako konečný součin prvků z X a jejich inverzí (tj. prvků tvaru x - 1 pro 
). Grupa se nazývá konečně generovaná, má-li konečnou množinu generátorů.
Grupa G se nazývá periodická (také torzní) pokud ke každému 
existuje n, že gn = 1.
Obecný Burnsideův problém lze formulovat následujícím způsobem:
- Nechť G je konečně generovaná periodická grupa. Musí pak G být konečná?
[editovat] Řešení
Řešení obecného Burnsideova problému je negativní. V roce 1964 sestrojili Golod a Šafarevič příklad nekonečné periodické konečně generované grupy (jejich grupa byla dokonce p-grupou).
[editovat] Burnsideův problém
[editovat] Formulace
Burnsideův problém je upřesněním obecného Burnsideova problému. Zní následovně:
- Nechť je dáno přirozené n a grupa G konečně generovaná a splňující gn = 1 pro všechny své prvky g. Musí pak G být konečná?
[editovat] Částečná řešení
Roku 1968 Adian a Novikov ukázali, že pro každé liché n > 4381 je odpověď negativní. Zajímavou třídou protipříkladů jsou takzvaná Tarského monstra pocházející z roku 1982. V plné obecnosti zůstává problém dodnes nevyřešen.
[editovat] Omezený Burnsideův problém
[editovat] Formulace
Omezený Burnsideův problém byl položen v roce 1930. Lze ho formulovat takto:
- Existuje jen konečně mnoho (neizomorfních) konečných grup generovaných r prvky a splňujících gn = 1 pro všechna , kde r a n jsou daná přirozená čísla?
[editovat] Řešení
Kladnou odpověď na tento problém podal roku 1991 Zelmanov. Za toto řešení obdržel roku 1994 Fieldsovu medaili. Zelmanovovo řešení používá teorii Lieových algeber.
