Bernsteinův polynom

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V teorii numerické matematiky je Bernsteinův polynom, nebo také polynom v Bernsteinově tvaru, polynomem, který je lineární kombinací Bernsteinových bázových polynomů.

Numericky stabilní cestou k výpočtu Bernsteinových polynomů je tzv. Algoritmus de Casteljau.

Polynomy v Bernsteinově tvaru byly poprvé použity v konstrukčním důkaze Stone-Weierstrassovy aproximační věty. S rozvojem počítačové grafiky se Bernsteinovy polynomy omezené na intervalu [0,1] staly důležitými ve formě Beziérových křivek.

Definice[editovat | editovat zdroj]

n+1 Bernsteinových bázových polynomů stupně n je definováno vztahem

   b_{\nu,n}(x) = {n \choose \nu} x^{\nu} (1-x)^{n-\nu}, \qquad \nu=0,\ldots,n.

kde {n \choose \nu} je binomický koeficient.
Bernsteinovy bázové polynomy stupně n tvoří bázi vektorového prostoru polynomů stupně n.
Lineární kombinace Bernsteinových bázových polynomů

   B(x) = \sum_{\nu=0}^{n} \beta_{\nu} b_{\nu,n}(x)

se nazývá Bernsteinův polynom, neboli polynom v Bernsteinově tvaru stupně n. Koeficienty \beta_{\nu} jsou nazývány Bernsteinovy koeficienty, nebo také Beziérovy koeficienty.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Prvních několik Bernsteinových bázových polynomů vypadá takto:

   b_{0,0}(x) = 1 \, 
b_{0,1}(x) = 1-x \,
b_{1,1}(x) = x \,
b_{0,2}(x) = (1-x)^2 \,
b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \,
b_{2,2}(x) = x^2 \ .

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernstein_polynomial na anglické Wikipedii.