Bernsteinův polynom

V teorii numerické matematiky je Bernsteinův polynom, nebo také polynom v Bernsteinově tvaru, polynomem, který je lineární kombinací Bernsteinových bázových polynomů.

Numericky stabilní cestou k výpočtu Bernsteinových polynomů je tzv. Algoritmus de Casteljau.

Polynomy v Bernsteinově tvaru byly poprvé použity v konstrukčním důkaze Stone-Weierstrassovy aproximační věty. S rozvojem počítačové grafiky se Bernsteinovy polynomy omezené na intervalu $[0,1]$ staly důležitými ve formě Beziérových křivek.

Definice

n+1 Bernsteinových bázových polynomů stupně $n$ je definováno vztahem

   $b_{\nu,n}(x) = {n \choose \nu} x^{\nu} (1-x)^{n-\nu}, \qquad \nu=0,\ldots,n.$

kde ${n \choose \nu}$ je binomický koeficient.
Bernsteinovy bázové polynomy stupně $n$ tvoří bázi vektorového prostoru polynomů stupně $n$.
Lineární kombinace Bernsteinových bázových polynomů

   $B(x) = \sum_{\nu=0}^{n} \beta_{\nu} b_{\nu,n}(x)$

se nazývá Bernsteinův polynom, neboli polynom v Bernsteinově tvaru stupně $n$. Koeficienty $\beta_{\nu}$ jsou nazývány Bernsteinovy koeficienty, nebo také Beziérovy koeficienty.

Příklad

Prvních několik Bernsteinových bázových polynomů vypadá takto:

   $b_{0,0}(x) = 1 \,$ 
   $b_{0,1}(x) = 1-x \,$ 
   $b_{1,1}(x) = x \,$ 
   $b_{0,2}(x) = (1-x)^2 \,$ 
   $b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \,$ 
   $b_{2,2}(x) = x^2 \ .$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernstein_polynomial na anglické Wikipedii.