Číselná struktura

Číselná struktura je v matematice algebraická struktura, jejímž nosičem je číselná množina. Na takové množině pak jsou určitým způsobem definovány příslušné matematické relace a operace. Číselné struktury se tvoří od nejjednodušších ke složitějším, jednodušší struktury jsou rozšiřovány na ty složitější.

$\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} \rightarrow \ldots$

Konstrukce

Při konstrukci struktur je postup obvykle následující: nejprve je sestrojen nosič struktury (číselná množina), poté příslušné relace a operace a nakonec je určen způsob, jakým se do nové struktury zobrazí struktury jednodušší.

Přirozená čísla

Přirozená čísla jsou nejjednodušší číselnou strukturou a základem konstrukce těch složitějších. Nosičem je množina přirozených čísel označující počty objektů. Výsledná struktura je uzavřená na operaci sčítání a násobení, není uzavřená na operaci odčítání a dělení. Prvky struktury lze jednoznačně porovnávat – o libovolných dvou prvcích lze říct, který je menší (<). Lze také jednoznačně říct, který prvek je následovníkem (x') druhého.

Přirozená čísla se obvykle definují prostřednictvím Peanových axiomů, lze je však určit (snad lépe) i následovně:

• $(\forall x)x=x$
• $(\forall x,y)x=y\Leftrightarrow y=x$
• $(\forall x,y,z)x=y\land y=z\Rightarrow x=z$
• $(\forall x\exists !y)y=x'$
• $(\forall x,y\exists !z)z=x+y$
• $(\forall x,y\exists !z)z=x\cdot y$
• $(\forall x,y)x=y\Leftrightarrow x'=y'$
• $(\forall p,q,x,y)x=y\land p=q\Leftrightarrow x+p=y+q$
• $(\forall p,q,x,y)x=y\land p=q\Leftrightarrow x\cdot p=y\cdot q$
• $(\exists x\forall y)y'\not =x$
• $(\forall x,y)x'=y'\Rightarrow x=y$
• $(\forall x)x+0=x$
• $(\forall x)x\cdot 0=0$
• $(\forall x,y)x+y'=(x+y)'$
• $(\forall x,y)x\cdot y'=(x\cdot y)+x$
• Nechť $\phi (x)$ je formule s právě jednou volnou proměnnou $x$. Pak $\phi (0)\land (\forall x)(\phi (x)\Rightarrow \phi (x'))\Rightarrow (\forall x)\phi (x)$ je axiom.

Celá čísla

Celá čísla jsou číselná struktura, ve které je (oproti číslům přirozeným) neomezeně proveditelné také odčítání. Konstrukce vychází z toho, že každé celé číslo lze vyjádřit jako rozdíl přirozených čísel.

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic přirozených čísel: $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$
• Ekvivalence: $[x,y]\approx [u,v]\Leftrightarrow x+v=y+u$
• Rozklad na třídy ekvivalence T: $\mathbb {Z} =\mathbb {N} \times \mathbb {N} /\approx$
• Sčítání: $T[x,y]+T[u,v]=T[x+u,y+v]$
• Násobení: $T[x,y]\cdot T[u,v]=T[xu+yv,xv+yu]$
• Obrazem přirozených čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: $T[x,0]$, kde $x$ je přirozené číslo
• $T[x,y]=x-y$

Racionální čísla

Racionální čísla jsou číselná struktura, ve které je (oproti číslům celým) neomezeně proveditelné také dělení. Konstrukce vychází z toho, že každé racionální číslo lze vyjádřit jako podíl celého čísla a přirozeného čísla (ne nuly).

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic celých čísel: $\mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{+}$
• Ekvivalence: ${\frac {x}{y}}\approx {\frac {u}{v}}\Leftrightarrow xv=yu$
• Rozklad na třídy ekvivalence T: $\mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{+}/\approx$
• Sčítání: $T{\frac {x}{y}}+T{\frac {u}{v}}=T{\frac {xv+yu}{yv}}$
• Násobení: $T{\frac {x}{y}}\cdot T{\frac {u}{v}}=T{\frac {xu}{yv}}$
• Obrazem celých čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: $T{\frac {x}{1}}$, kde $x$ je celé číslo

Reálná čísla

Reálná čísla se obvykle konstruují z racionálních čísel pomocí Dedekindových řezů.

Komplexní čísla

Komplexní čísla jsou množinou, ve které je řešitelná rovnice $x^{2}+1=0$ a to tak, že $x={\sqrt {-1}}=i$.

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel: $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$
• Ekvivalence: $[x,y]=[u,v]\Leftrightarrow x=u\land y=v$
• Sčítání: $[x,y]+[u,v]=[x+u,y+v]$
• Násobení: $[x,y]\cdot [u,v]=[xu-yv,xv+yu]$