Peanovy axiomy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou . Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s . Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.

Znění axiomů[editovat | editovat zdroj]

Formální zápis[editovat | editovat zdroj]

V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následníkem žádného čísla):

Slovní zápis[editovat | editovat zdroj]

Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel:

  • existuje číslo, které není následníkem žádného čísla,
  • Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem.
  • Číslo 0 není následovníkem žádného přirozeného čísla.
  • Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
  • Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.

Axiom indukce[editovat | editovat zdroj]

Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost . Tento axiom lze zapsat následovně: Pokud je výrok závisející na , tak:

.

Pokud je možné najít pro které platí výrok a pokud pro výrok platí pro větší , tak platí pro , potom výrok platí pro každé větší .

Definice operací a uspořádání na přirozených číslech[editovat | editovat zdroj]

Na množině splňující Peanovy axiomy lze definovat operace sčítání a násobení a relaci uspořádání takto:

  • Součet definujeme indukcí podle druhého sčítance: .
  • Součin definujeme indukcí podle druhého činitele: .
  • Relaci definujeme formulí .

Přirozená čísla bez nuly[editovat | editovat zdroj]

Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.

Související články[editovat | editovat zdroj]