Číselná struktura

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Číselná struktura je v matematice algebraická struktura jejímž nosičem je číselná množina. Na této množině pak jsou určitým způsobem definovány příslušné matematické relace a operace. Tvoří se od nejjednodušších k složitějším, jednodušší struktury jsou vnořeny do těch složitějších.

Konstrukce[editovat | editovat zdroj]

Při konstrukci struktur je postup obvykle následující: nejprve je sestrojen nosič struktury (číselná množina), poté příslušné relace a nakonec je určen způsob jakým se do nové struktury zobrazí struktury jednodušší.

Přirozená čísla[editovat | editovat zdroj]

Přirozená čísla jsou nejjednodušší číselnou strukturou a základem konstrukce těch složitějších. Nosičem je množina přirozených čísel označující počty objektů. Výsledná struktura je uzavřená na operaci sčítání a násobení, není uzavřená na operaci odčítání a dělení. Prvky struktury lze jednoznačně porovnávat – o libovolných dvou prvcích lze říct, který je menší (<). Lze také jednoznačně říct, který prvek je následovníkem (x') druhého.

Přirozená čísla se obvykle definují prostřednictvím Peanových axiomů, lze je však určit (snad lépe) i následovně:

  • Nechť je formule s právě jednou volnou proměnnou x. Pak je axiom.

Celá čísla[editovat | editovat zdroj]

Celá čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům přirozeným) neomezeně proveditelné také odčítání. Konstrukce vychází z toho, že každé celé číslo lze vyjádřit jako rozdíl přirozených čísel.

  • Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic přirozených čísel:
  • Ekvivalence:
  • Rozklad na třídy ekvivalence T:
  • Sčítání:
  • Násobení:
  • Obrazem přirozených čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: , kde x je přirozené číslo

Racionální čísla[editovat | editovat zdroj]

Racionální čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům celým) neomezeně proveditelné také dělení. Konstrukce vychází z toho, že každé racionální číslo lze vyjádřit jako podíl celých čísel.

  • Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic celých čísel:
  • Ekvivalence:
  • Rozklad na třídy ekvivalence T:
  • Sčítání:
  • Násobení:
  • Obrazem celých čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: , kde x je celé číslo

Reálná čísla[editovat | editovat zdroj]

Reálná čísla se obvykle konstruují z racionálních čísel pomocí Dedekindových řezů.

Komplexní čísla[editovat | editovat zdroj]

Komplexní čísla jsou množinou, ve které je řešitelná rovnice a to tak, že .

  • Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel:
  • Ekvivalence:
  • Sčítání:
  • Násobení: