Eukleidova věta o výšce

Obrázek s popsanými úsečkami vyskytujícími se v Eukleidových větách.

Jako Eukleidovy věty se označují matematické věty o délkách odvěsen a výšky pravoúhlého trojúhelníku. Jsou pojmenované po svém objeviteli, řeckém matematiku Eukleidovi. Jsou to:

• Eukleidova věta o výšce: ${\textstyle v_{c}^{2}=c_{a}\cdot c_{b}}$
• Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu a): ${\textstyle a^{2}=c\cdot c_{a}}$
• Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu b): ${\textstyle b^{2}=c\cdot c_{b}}$

Pomocí Eukleidových vět je taky možné dokázat Pythagorovu větu a naopak pomocí Pythagorovy věty lze dokázat Eukleidovy věty.

Eukleidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.

$v_{c}^{2}=c_{a}\cdot c_{b}$

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků

Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB (viz označení na obrázku), z podobnosti trojúhelníků APC a CPB plyne:

${\frac {v_{c}}{c_{a}}}={\frac {c_{b}}{v_{c}}}$

Obě strany rovnice vynásobíme číslem $v_{c}\cdot c_{a}$ a dostaneme Eukleidovu větu:

$v_{c}^{2}=c_{a}\cdot c_{b}$

Důkaz z Pythagorovy věty

Z Pythagorovy věty plyne:

$v_{c}^{2}=b^{2}-c_{b}^{2}$

$v_{c}^{2}=a^{2}-c_{a}^{2}$

Rovnice sečteme:

$2v_{c}^{2}=a^{2}+b^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}$

Upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:

$2v_{c}^{2}=c^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}$

Dosadíme $c=c_{a}+c_{b}$:

$2v_{c}^{2}=(c_{a}+c_{b})^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}$

Roznásobíme, odečteme a vydělíme dvěma:

$2v_{c}^{2}=c_{a}^{2}+2c_{a}c_{b}+c_{b}^{2}-c_{a}^{2}-c_{b}^{2}$

$2v_{c}^{2}=2c_{a}c_{b}$

$v_{c}^{2}=c_{a}c_{b}$

Důkaz pomocí obsahů

Velký trojúhelník je poskládán dvěma způsoby. Čtverec nad výškou je nahrazen obdélníkem.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojíme růžový čtverec nad výškou v a obdélník se stranami c_a a c_b. Doplníme obrázek do velkého pravoúhlého trojúhelníku. Velký trojúhelník je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu $v^{2}$je ve druhém rozkladu nahrazen obdélníkem o obsahu $c_{a}\cdot c_{b}$. Odtud růžové objekty musí mít stejný obsah.

Eukleidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

$a^{2}=c\cdot c_{a}$

$b^{2}=c\cdot c_{b}$

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků

Z podobnosti trojúhelníků ACB a CPB plyne:

${\frac {a}{c_{a}}}={\frac {c}{a}}$

Obě strany rovnice vynásobíme $a\cdot c_{a}$ a dostaneme Eukleidovu větu:

$a^{2}=c\cdot c_{a}$

Pro důkaz Euklidovy věty pro druhou odvěsnu bychom jen zaměnili body A a B, odvěsny a a b a části přepony c_a a c_b.

Důkaz z Pythagorovy věty

Vycházíme z toho, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše). Z Pythagorovy věty plyne:

$a^{2}=v_{c}^{2}+c_{a}^{2}$

$a^{2}=c_{a}c_{b}+c_{a}^{2}$

$\ a^{2}=(c_{a}+c_{b})c_{a}$

$\ a^{2}=cc_{a}$

Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen.

Důkaz Eukleidovy věty o odvěsně. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsoben. Čtverec nad odvěsnou je nahrazen obdélníkem.

Tento důkaz nelze použít, pokud máme zároveň z Eukleidovy věty dokazovat Pythagorovu větu, protože se jednalo o důkaz kruhem. V takovém případě je nutné použít jiný důkaz Eukleidovy věty.

Důkaz pomocí obsahů

Pro zelený pravoúhlý trojúhelník ABC sestrojíme růžový čtverec nad odvěsnou b = AC a obdélník se stranami c a c_b. Doplníme obrázek šedými pomocnými trojúhelníky. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu $b^{2}$je nahrazen obdélníkem o obsahu $c\cdot c_{b}$.

Délka výšky

Na základě znalosti Eukleidových vět a daných délek stran a a b lze vypočítat délku výšky:

$v^{2}={\frac {a^{2}\cdot b^{2}}{c^{2}}}={\frac {a^{2}\cdot b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

$v={\sqrt {\frac {a^{2}\cdot b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}}={\frac {a\cdot b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Příklad

Mějme pravoúhlý trojúhelník se stranami $a=5,\,c=8$ (v libovolných, ale shodných jednotkách). Vypočítejte výšku $v_{c}\,\!$.

Platí:

$v_{c}^{2}=c_{a}\cdot c_{b}$

$a^{2}=c\cdot c_{a}\,\!$

Po dosazení do druhého vzorce:

$25=8\cdot c_{a}\,\!$

$c_{a}=25:8\,\!$

$c_{a}=3{,}125\,\!$

Dopočet $c_{b}\,\!$:

$c_{b}=c-c_{a}\,\!$

$c_{b}=4{,}875\,\!$

Po dosazení do prvního vzorce:

$v_{c}^{2}=c_{a}\cdot c_{b}$

$v_{c}^{2}=3{,}125\cdot 4{,}875$

$v_{c}^{2}\doteq 15{,}23$

$v_{c}\doteq 3{,}9\,\!$

Výška tohoto trojúhelníku je přibližně 3,9.

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Eukleidova věta o výšce na Wikimedia Commons

• Pythagorova věta