Vektorový potenciál

Ve vektorovém počtu je vektorový potenciál takové vektorové pole, jehož rotací je dané vektorové pole. Je to obdoba skalárního potenciálu, což je skalární pole, jehož gradient je dané vektorové pole.

Formálně je-li dáno vektorové pole v, je vektorový potenciál takový vektor A, že platí

\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .

Důsledky

Vektorový potenciál $\mathbf {A}$ spolu se skalárním potenciálem $\varphi$ plně charakterizuje elektromagnetické pole. Ze znalosti těchto potenciálů lze určit elektrickou intenzitu $\mathbf {E}$ a magnetickou indukci $\mathbf {B}$ :

$\mathbf {E} =-\operatorname {grad} \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \mathbf {A}$

Rotace vektorového potenciálu tedy udává magnetickou indukci. Je nutno říci, že vektorový potenciál není ani zdaleka určen jednoznačně, stejné fyzikální situaci tedy může odpovídat mnoho potenciálů Je však vždy nutné splnit tzv. Lorentzovu kalibrační podmínku, tedy:

$\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$

Ve stacionárním případě, například v magnetostatice se podmínka zredukuje na $\operatorname {div} \mathbf {A} =0$ .

V magnetostatice je občas výhodnější místo přímého počítání magnetického indukce pomocí Ampérova zákona nebo Biotova–Savartova vzorce nejdříve vypočítat vektorový potenciál a pak určit magnetickou indukci jako jeho rotaci.

Pro vektorový potenciál platí v magnetostatice rovnice:

$-\Delta \mathbf {A} =\mu \mathbf {j}$

Kde proudová hustota splňuje magnetostatickou rovnici kontinuity $\operatorname {div} \mathbf {j} =0$ .

Řešení této rovnice můžeme zapsat ve tvaru integrálu:

$\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {\mu }{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} }{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}d^{3}x'$

Integrál zde probíhá přes celý prostor. Fyzikálně měřitelnou magnetickou indukci pak určíme jako $\mathbf {B} =\operatorname {rot} {\mathbf {A} }$ .

Poznamenejme, že ve speciální relativitě je vektorový potenciál prostorovou složkou čtyřvektoru:

$A^{\nu }=({\frac {1}{c}}\varphi ,\mathbf {A} )$

Konstanta u skalárního potenciálu závisí na použité soustavě jednotek, v případě jednotek SI, které jsou použity v tomto článku zde vystupuje rychlost světla $c$ .