Logistická funkce

Sigmoida

Logistická funkce nebo též logistická křivka je reálná funkce definovaná jako

$f(t;a,m,n,\tau )=a{\frac {1+me^{-t/\tau }}{1+ne^{-t/\tau }}}\!$

kde f je funkční hodnota, a, m, n, a τ reálné parametry. Nezávisle proměnnou označujeme jako t, protože logistická funkce se často používá pro modelování vývoje v čase. V počáteční fázi je růst přibližně exponenciální, později s rostoucím nasycením se zpomaluje, a nakonec se asymptoticky zastaví. Logistická funkce se často používá v empirických vědách pro modelování růstu populací, koncentrací a podobně.

Sigmoida

Významným příkladem logistické funkce je speciální případ s parametry a = 1, m = 0, n = 1, τ = 1, tedy

$P(t)={\frac {1}{1+e^{-t}}}\!$

Tato logistická funkce se pro svůj tvar někdy označuje též jako sigmoida. Je řešením nelineární diferenciální rovnice prvního řádu

${\frac {dP}{dt}}=P(1-P),\quad {\mbox{(2)}}\!$

s okrajovou podmínkou P(0) = 1/2. Používá se často jako sponová funkce (link function) ve statistických modelech (logistická regrese).

Význam

Logistické křivky se objevují jako řešení různých modelů například v demografii, biologii a ekonomii.

Související články

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Logistic function na anglické Wikipedii.

• Gaussova křivka (distribuční funkce normálního rozdělení)
• Logistická regrese
• Přechodové jevy

Portály: Matematika