Gaussova funkce

Gaussova funkce pojmenovaná po matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi je reálná funkce jedné reálné proměnné $x$ se třemi parametry $a,\mu ,\sigma$ ve tvaru

f\left(x\right)=ae^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,.

Čísla $a$ a $\sigma$ musí být kladná, $\mu$ je libovolné reálné, $e$ je Eulerovo číslo (2,71828...). Graf funkce má v bodě $x=\mu$ vrchol o výšce $a$ , který graf dělí na dvě vzájemně souměrné části – levou rostoucí z 0 a pravou klesající asymptoticky zpět k 0. Parametr $\sigma$ určuje šířku „kopce“ ve výšce $ae^{-1/8}\approx 0{,}8825\,a$ . V polovině výšky má graf šířku $2\sigma {\sqrt {2\ln 2}}\approx 2{,}3548\,\sigma$ .

Normalizované funkce[editovat | editovat zdroj]

Gaussova funkce se velmi často používá ve významu hustoty pravděpodobnosti. V takovém případě musí být její integrál (plocha pod grafem) přes celý definiční obor roven 1, což představuje pravděpodobnost jistého jevu.

\int _{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)\,{\mathrm {d} }x=1

Tuto normalizační podmínku lze splnit vhodnou volbou konstanty $a$ . Nejjednodušší gaussovskou funkcí je $g(x)=e^{-x^{2}}$ , jejíž integrál je roven ${\sqrt {\pi }}$ (viz Gaussův integrál), takže její normalizovaná verze musí mít tvar

g_{\mathrm {n} }(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}\,.

Parametr $\mu$ pouze posouvá graf podél osy $x$ , takže nemá vliv na hodnotu integrálu. Parametr $\sigma$ graf rozšiřuje a integrál se přitom násobí číslem $\sigma {\sqrt {2}}$ . Obecná normalizovaná Gaussova funkce tedy musí mít tvar

f_{\mathrm {n} }(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,.

Parametr $\mu$ má v tomto případě význam střední hodnoty náhodné veličiny a parametr $\sigma$ je směrodatná odchylka.

Fourierova transformace[editovat | editovat zdroj]

Z matematického a fyzikálního hlediska jsou Gaussovy funkce významné také tím, že při $\mu =0$ je Fourierovým obrazem funkce opět Gaussova funkce, obecně s jinými parametry.

{\hat {f}}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\xi x}\,{\mathrm {d} }x=a\sigma e^{-\sigma ^{2}\xi ^{2}/2}

Je-li navíc $\sigma =1$ , je Gaussova funkce obrazem sama sebe ( ${\hat {f}}=f$ ), takže představuje pevný bod Fourierovy transformace. Ze všech normalizovaných funkcí má tuto vlastnost pouze jediná: