Axiom výběru

Formulace axiomu

Axiom výběru (ozn. (AC)) je axiomem často přidávaným k obvyklým axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (ZF). Poprvé byl formulován Ernstem Zermelem v roce 1904.

Tento axiom tvrdí:
Pro každý neprázdný soubor neprázdných množin existuje funkce, která z každé množiny tohoto souboru vybírá právě jeden prvek, neboli:

$(\forall I\neq \emptyset )(((\forall i\in I)(A_{i}\neq \emptyset ))\implies ((\exists f)(f\ {\mbox{ je funkce }}\land$
$\land \;\operatorname {dom} (f)=I\;\land \;((\forall i\in I)(f(i)\in A_{i})))))$

Motivace pro přijetí AC

Důležitou vlastností (AC) je to, že umožňuje ke každému souboru množin získat soubor jejich prvků, z každé množiny jeden, a to bez znalosti jakéhokoli algoritmu, kterým bychom výběr prvků mohli provést, pouze z předpokladu neprázdnosti souboru i jednotlivých množin (tj. nekonstruktivně).
Uvědomme si, že na konečném souboru množin je (AC) snadno dokazatelný a i zdravý selský rozum nám říká, že vybrat z každé hromady kamení jeden kámen není žádný problém. Problémem začíná být až nekonečný soubor množin a to především soubory "hodně nekonečné" (nespočetné, bez dobrého uspořádání).

V některých odvětvích matematiky, zejména v nekonečné kombinatorice, ale například i v matematické analýze, se (AC) ukazuje jako zcela nezbytný předpoklad pro rozvoj těchto disciplín.
S (AC) je ekvivalentní řada principů teorie množin, které zásadním způsobem "učesávají" svět teorie množin - neznámějšími z nich jsou Princip maximality a Princip dobrého uspořádání. Přijetím axiomu výběru se tedy svět teorie množin stává (z pohledu jeho příznivců) přehlednějším, ale ne zas tolik, aby přestal být zajímavým.

Motivace pro odmítnutí AC

Odpůrci zařazení (AC) mezi standardní axiomy teorie množin (například konstruktivisté) poukazují na jeho odlišný charakter od ostatních podobných axiomů teorie množin, které obvykle postulují možnost vytvoření nové množiny z již existujících množin jednoduchým a přehledným způsobem (viz axiom sumy, axiom potence, axiom dvojice). Na rozdíl od nich (AC) nedává žádnou představu o tom, jak výběrová funkce (viz formulace axiomu) vypadá - je tedy spíše "čistě existenční" než-li "konstrukční".

Druhým argumentem je, že (AC) příliš omezuje rozmanitost objektů ve světě teorie množin - podle principu dobrého uspořádání ekvivalentního s (AC)lze každou množinu uspořádat tak, aby byla izomorfní s některým ordinálním číslem - říkám tak vlastně "ve světě teorie množin nežijí obludy, které by se nedaly zkrotit (tj. dobře uspořádat).

Dalo by se říci, že svět ZF s (AC) stojí někde na půli cesty mezi rozmanitým, ale hůře popsatelným a použitelným světem ZF bez (AC), a mezi příliš omezeným a zjednodušeným, ale zato dokonale přehledným světem ZF s axiomem konstruovatelnosti.

Nezávislost AC na axiomech ZF

(AC) je bezesporný neboli konzistentní s ostatními axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (je takzvaně relativně bezesporný s ZF). Platí totiž v jednom modelu teorie množin, a to v univerzu konstruovatelných množin, což dokázal v roce 1940 Kurt Gödel. V tomto modelu platí dokonce axiom silného výběru a dále například zobecněná hypotéza kontinua. Také negace (AC) je relativně bezesporná s ZF, a tedy (AC) je nezávislý na axiomech ZF. Přidáním negace (AC) k ZF však dostaneme teorii již s dosti podivnými vlastnostmi (lze v ní například bezesporně předpokládat neplatnost klasické Heineho věty).