Axiom výběru

Axiom výběru (ozn. (AC)) je axiomem často přidávaným k obvyklým axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (ZF). Poprvé byl formulován Ernstem Zermelem v roce 1904.

Tento axiom tvrdí:
Pro každý neprázdný soubor neprázdných množin existuje funkce, která z každé množiny tohoto souboru vybírá právě jeden prvek, neboli:

$(\forall I\neq \varnothing )(\forall i)(i\in I\implies A_{i}\neq \varnothing )\implies (\exists f(f\ {\mbox{je funkce}}\land \operatorname {dom} (f)=I\land (\forall i)(i\in I\implies f(i)\in A_{i})))$

Důležitou vlastností (AC) je to, že umožňuje ke každému souboru množin získat soubor jejich prvků, z každé množiny jeden, a to bez znalosti jakéhokoli algoritmu, kterým bychom výběr prvků mohli provést, pouze z předpokladu neprázdnosti souboru i jednotlivých množin (tj. nekonstruktivně).

V některých odvětvích matematiky, zejména v nekonečné kombinatorice, ale například i v matematické analýze, se (AC) ukazuje jako zcela nezbytný předpoklad pro rozvoj těchto disciplín. Obecně se však mezi matematiky vedou spory o jeho korektnosti (právě kvůli jeho nekonstruktivnosti) (viz konstruktivismus).

(AC) je bezesporný neboli konzistentní s ostatními axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (je takzvaně relativně bezesporný s ZF). Platí totiž v jednom modelu teorie množin, a to v univerzu konstruovatelných množin, což dokázal v roce 1940 Kurt Gödel. V tomto modelu platí dokonce axiom silného výběru a dále například zobecněná hypotéza kontinua. Také negace (AC) je relativně bezesporná s ZF, a tedy (AC) je nezávislý na axiomech ZF. Přidáním negace (AC) k ZF však dostaneme teorii již s dosti podivnými vlastnostmi (lze v ní například bezesporně předpokládat neplatnost klasické Heineho věty).