Eisensteinovo číslo

Trojúhelníková mříž Eisensteinových celých čísel v komplexní rovině

V matematice se jako Eisensteinova čísla, pojmenovaná po Ferdinandu Eisensteinovi, označují komplexní čísla tvaru

$z=a+b\omega \,\!$

kde a a b jsou celá čísla a

$\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}$

je (komplexní) třetí odmocnina z jedné. Podobně jako Gaussova čísla tvoří čtvercovou mříž, tvoří Eisensteinova čísla trojúhelníkovou mříž. Jedná se o okruh celistvých čísel číselného tělesa $\mathbb {Q} \left(\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)$.

Dělitelnost

Na Eisensteinových číslech lze zavést dělitelnost stejně jako na celých číslech: $x$ dělí $y$ právě tehdy, existuje-li Eisensteinovo číslo $z$ splňující $y=zx$. To umožňuje převést z celých čísel i koncept prvočíselnosti, a mluvit o Eisensteinových prvočíslech. Mezi Eisensteinovými čísly je celkem šest jednotek {±1, ±ω, ±ω²}, za Eisensteinova prvočíslo je tedy považováno každé takové Eisensteinovo číslo $z$, které lze dělit pouze pouze jednotkami a prvky $uz$, kde $u$ je nějaká z jednotek.

Eisensteinova čísla tvoří komutativní okruh. Ten je dokonce eukleidovský, za eukleidovskou funkci je možno zvolit

$N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Eisenstein integer na anglické Wikipedii.